/Studia/Analiza/Całki oznaczone/Z modułem

Zadanie nr 5132327

Oblicz całkę ∫ e 1| ln x|dx e .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Rozbijamy przedział całkowania tak, aby pozbyć się wartości bezwzględnej.

∫ e ∫ 1 ∫ e ∫ 1 ∫ e |lnx |dx = |ln x|dx + |ln x|dx = (− lnx )dx+ ln xdx 1e 1e 1 1e 1

Obliczmy teraz całkę nieoznaczoną ∫ ln xdx . Całkujemy przez części.

| | ∫ |u′ = 1 v = ln x| ∫ ln xdx = ||u = x v′ = 1 || = x ln x − 1dx = x lnx − x . x

Mamy więc

∫ ∫ ∫ e 1 e 1 e 1 |ln x|dx = 1 (− lnx )dx+ 1 lnxdx = [x(1 − ln x)]1e + [x (ln x − 1)]1 = e( ) e = 1− 2- + (0+ 1) = 2 − 2-. e e

 
Odpowiedź: 2 2 − e

Wersja PDF