/Studia/Analiza/Całki nieoznaczone/Różne

Zadanie nr 8016799

Oblicz całkę ∫ x 2 e sin xdx .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Pozbędziemy się kwadratu przy sinusie korzystając z tożsamości

(sin 2x)′ = 2 sin x cosx = sin 2x .
Całkujemy przez części
| | ∫ x 2 |u′ = ex v = sin 2x | x 2 ∫ x e sin xdx = ||u = ex v′ = sin 2x || = e sin x − e sin2xdx .

Ostatnią całkę oznaczamy przez I i liczymy

∫ | ′ x | ∫ I = ex sin2xdx = ||u = e v = sin2x || = exsin 2x − 2 ex ⋅ cos2xdx = |u = ex v′ = 2cos 2x| || ′ x || ∫ = |u = ex ′v = cos2x | = ex sin 2x − 2ex cos2x − 4 exsin2xdx = | u = e v = − 2 sin 2x| = exsin 2x − 2exco s2x − 4I

Zatem

sin 2x − 2 cos2x 5I = (sin 2x − 2 cos2x )ex + C ⇒ I = ----------------ex + C, 5

oraz

∫ exsin2xdx = ex sin2 x − I = ( ) x 2 sin-2x-−-2-cos-2x- = e sin x− 5 + C.

 
Odpowiedź: x( 2 sin-2x−-2cos2x) e sin x − 5 + C

Wersja PDF