/Studia/Analiza/Całki nieoznaczone/Wymierne/Mianownik stopnia 2

Zadanie nr 2362892

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Oblicz całkę ∫ ---1----- 2x2+ 3x−2dx .

Rozwiązanie

Rozkładamy mianownik na czynniki

2 2x + 3x − 2 = 0 Δ = 9 + 16 = 2 5 − 3− 5 − 3+ 5 1 x = ------- = − 2 ∨ ------- = -- 4 ( 4 ) 2 2 1- 2x + 3x − 2 = 2(x + 2) x − 2 .

Funkcja podcałkowa jest więc sumą dwóch ułamków prostych pierwszego rodzaju

1 1 a b ---2--------- = --------------1- = ------+ ----1- 2x + 3x − 2 2 (x+ 2)(x− 2) x+ 2 x − 2

Mnożymy obie strony przez ( 1) 2(x + 2) x − 2 .

( ) 1 = 2a x− 1- + 2b(x + 2) = 2(a+ b)x− a+ 4b 2

Mamy stąd układ równań.

{ a + b = 0 −a + 4b = 1.

Dodając równania stronami mamy 5b = 1 , czyli 1 b = 5 . Stąd 1 a = − 5 , oraz

∫ 1 1 ∫ 1 1 ∫ 1 --2---------dx = − -- -----dx + -- ----1-dx = 2x + 3x − 2 5 x+ 2 5 x − 2 | | | 1| = 1-(ln |x− 1|− ln |x + 2|)+ C = 1ln ||x−--2|| + C . 5 2 5 |x + 2|

 
Odpowiedź: || 1|| 1 ln |x−-2|+ C 5 |x+ 2|

Wersja PDF