/Studia/Analiza/Całki nieoznaczone/Wymierne/Mianownik stopnia 2

Zadanie nr 3586681

Oblicz całkę ∫ --x+-2--- x2− 7x+12dx .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Rozkładamy mianownik na czynniki

2 x − 7x + 12 = 0 Δ = 49− 48 = 1 7 − 1 7+ 1 x = ------= 3 ∨ x = ------= 4 . 2 2

Szukamy zatem rozkładu funkcji podcałkowej na ułamki proste postaci:

x + 2 x + 2 A B -2-----------= ---------------= ------+ ------. x − 7x + 12 (x − 3)(x − 4) x − 3 x − 4

Mnożąc obie strony przez (x− 3)(x− 4) mamy

x + 2 = A (x− 4)+ B(x − 3) = (A + B )x− (4A + 3B ),

co daje układ równań

{ A + B = 1 4A + 3B = − 2.

Odejmując od drugiego równania pierwsze pomnożone przez 3 (żeby zredukować B ) otrzymujemy A = − 5 . Stąd B = 6 oraz

∫ ∫ ∫ ---x-+-2----dx = − 5 --dx--+ 6 -dx---= x2 − 7x + 12 x − 3 x− 4 = − 5 ln |x− 3|+ 6 ln|x − 4|+ C.

 
Odpowiedź: − 5ln |x− 3|+ 6 ln |x − 4|+ C

Wersja PDF