/Studia/Analiza/Całki nieoznaczone/Wymierne/Mianownik stopnia 2

Zadanie nr 4774571

Oblicz ∫ x5+x4−2x2+3- x2+x+ 2 dx .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Dzielimy z resztą licznik przez mianownik – my zrobimy to grupując wyrazy.

5 4 2 5 4 3 3 2 x + x − 2x + 3 = (x + x + 2x ) − (2x + 2x + 4x )+ 4x+ 3 = = (x3 − 2x)(x2 + x + 2) + 4x + 3.

Mamy zatem

∫ 5 4 2 ∫ ∫ x--+-x--−-2x--+-3- 3 --4x+--3--- x 2 + x+ 2 dx = (x − 2x )dx + x2 + x+ 2dx = 4 ∫ ∫ 4 = x--− x 2 + 2 --2x-+-1--dx + ----dx-----= x--− x 2 + 2A + B . 4 x2 + x+ 2 x2 + x + 2 4

Pierwszą całkę obliczamy podstawiając za mianownik, a drugą korzystając ze wzoru

∫ dx 1 x + a (x-+-a)2-+-b = √---arctg -√----+ C, dla k > 0. b b

Liczymy

∫ 2x + 1 ||t = x 2 + x + 2 || ∫ dt A = -2---------dx = || || = ---= x + x + 2 dt = (2x+ 1)dx t = ln |t| = ln(x2 + x + 2) + C ∫ ∫ B = ----dx-----= -----dx------ = √2-arctg 2x√+-1-+ C . x2 + x + 2 (x + 1)2 + 7 7 7 2 4

Mamy zatem

∫ 5 4 2 4 x-+--x-−--2x-+--3dx = x--− x2+ 2ln(x2 + x + 2)+ √2-a rctg 2x√+-1-+ C . x2 + x + 2 4 7 7

 
Odpowiedź: x4 2 2 2 2x+ 1 -4 − x + 2ln(x + x + 2)+ √7-arctg -√-7-+ C

Wersja PDF