/Studia/Analiza/Całki nieoznaczone/Wymierne/Mianownik stopnia 3

Zadanie nr 2468191

Oblicz całkę ∫ x3+1- x3−x 2dx .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Zmniejszamy najpierw stopień licznika.

∫ 3 ∫ ( 3 2 2 ) -x-+--1dx = x-−--x-+ -x-+--1- dx = x3 − x2 x3 − x2 x3 − x2 ∫ x 2 + 1 = x + -3----2dx . x − x

Ostatnią całkę liczymy szukając rozkładu funkcji podcałkowej na ułamki proste postaci:

2 2 -x-+--1-= --x-+--1--= a-+ b-+ --c--. x3 − x2 x2(x − 1) x x2 x − 1

Mnożąc obie strony przez x2(x− 1) otrzymujemy.

x2 + 1 = ax (x− 1)+ b(x − 1)+ cx2 = (a + c)x2 + (b − a)x − b.

Stąd b = a = − 1 oraz c = 2 oraz

∫ x2 + 1 ∫ dx ∫ dx ∫ dx --------dx = − --- − ---+ 2 ------= x 3 − x 2 x x2 x − 1 1- = − ln |x|+ x + 2 ln |x− 1|+ C .

Zatem

∫ x-3 +-1- 1- x3 − x2dx = x − ln|x|+ x + 2 ln|x − 1|+ C.

 
Odpowiedź: 1 x − ln |x |+ x + 2 ln |x − 1|+ C

Wersja PDF