Zadanie nr 7559485

Oblicz całkę ∫ ----1----- 6x3− 7x2− 3xdx .

Rozwiązanie

Mianownik dzieli się przez :

3 2 2 6x − 7x − 3x = x(6x − 7x − 3 ),

a dwumian kwadratowy 2 6x − 7x− 3 ma dwa pierwiastki

2 6x − 7x − 3 = 0 Δ = 49 + 72 = 121 x = 7-−-11-= − 1- ∨ x = 7+--11-= 3. 12 3 12 2

Mamy rozkład

( 3) ( 1) 6x 3 − 7x 2 − 3x = 6x x− -- x + -- 2 3

i funkcja podcałkowa jest sumą trzech ułamków prostych pierwszego rodzaju:

-------1------- = -------1---------= a-+ --b---+ ---c-- 6x 3 − 7x 2 − 3x 6x(x − 3)(x + 1) x x− 3 x + 1 2 3 2 3

Mnożymy obie strony przez 6x(x − 3)(x+ 1) 2 3 .

( ( 3 ) ( 1) ( 1) ( 2 )) 1 = 6 a x − -- x+ -- + bx x + -- + cx x − -- = 2 3 3 3 = 6(a+ b+ c)x2 + (−7a + 2b− 4c)x− 3a.

Porównując współczynniki otrzymujemy układ równań.

( |{ a+ b+ c = 0 − 7a+ 2b− 4c = 0 |( − 3a = 1.

Z ostatniego równania mamy a = − 13 , a odejmując od drugiego równania pierwsze pomnożone przez 2 (żeby zredukować ) mamy

− 9a − 6c = 0 ⇒ c = − 3a = 1. 2 2

Zatem

b = −a − c = 1-− 1-= 2−-3-= − 1-, 3 2 6 6

oraz

∫ ∫ ( 1 1 1 ) -------1-------dx = − 3-− --6---+ --2--- dx = 6x3 − 7x 2 − 3x x x− 32 x + 13 | | | | = − 1-ln|x|− 1-ln ||x − 3-||+ 1-ln ||x + 1||+ C. 3 6 | 2 | 2 | 3|

Odpowiedź: | | − 1 ln |x|− 1ln||x − 3||+ 1ln||x + 1 ||+ C 3 6 2 2 3