/Studia/Analiza/Całki nieoznaczone/Cyklometryczne

Zadanie nr 8978183

Oblicz całkę ∫ 2 arcsin xdx .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Całkujemy przez części.

∫ || ′ 2 || arcsin2xdx = ||u = 1 v = a rcsin x || = |u = x v′ = 2arcsin x⋅ √11−x2| ∫ = x arcsin2x − 2 √--x----a rcsin xdx . 1− x2

Zauważmy, że √--x-2 1−x jest pochodną funkcji √ ------- − 1− x2 (łatwo to sprawdzić, różniczkując ostatnią funkcję), możemy więc raz jeszcze całkować przez części.

∫ || u′ = √-x--- v = arcsin x|| √--x----arcsin xdx = || √ 1−x-2-- || = 1− x 2 |u = − 1 − x2 v′ = √-1--2| ∘ ------- ∫ ∘ ------- 1−x = − 1− x2a rcsin x+ 1dx = − 1 − x 2arcsinx + x + C .

Mamy więc

∫ ∘ ------- arcsin2 xdx = x arcsin2x − 2(x− 1 − x2 arcsin x) + C .

 
Odpowiedź: √ ------- x arcsin 2x − 2(x − 1 − x2 arcsin x) + C

Wersja PDF