/Szkoła średnia/Zadania testowe/Geometria/Planimetria/Okrąg i koło/Pole

Zadanie nr 2936124

Odcinek AB jest średnicą okręgu o środku O i promieniu r . Na tym okręgu wybrano punkt C , taki, że |OB | = |BC | (zobacz rysunek).

PIC

Pole trójkąta AOC jest równe
A) 12r2 B) 14r2 C) π4-r2 D) √-3 2 4 r

Wersja PDF

Rozwiązanie

Zauważmy, że w trójkącie OBC mamy

r = OC = OB = BC ,

więc jest to trójkąt równoboczny. W takim razie ∘ ∡BOC = 60 .

Sposób I

Trójkąty OBC i AOC mają podstawy OB = OA równej długości oraz wspólną wysokość opuszczoną na te podstawy. Mają więc równe pola

√ -- r2 3 PAOC = POBC = ------ 4

(korzystamy ze wzoru na pole trójkąta równobocznego.)

Sposób II

Korzystamy ze wzoru z sinusem na pole trójkąta

PAOC = 1-⋅OA ⋅OC sin 120 ∘ = 1r2 sin (180∘ − 60∘) = 2 √ -2 √ -- 1 2 ∘ 1 2 3 3 2 = -r ⋅sin 60 = -r ⋅----= ---r . 2 2 2 4

 
Odpowiedź: D

Wersja PDF