/Szkoła średnia/Zadania testowe/Geometria/Planimetria/Okrąg i koło/Pole

Zadanie nr 5744045

Odcinek AB jest średnicą okręgu o środku O i promieniu r , a punkt C jest środkiem łuku o końcach A i B (zobacz rysunek). Na odcinku AB wybrano punkt D taki, że √- |DC | = 2-3|OA | 3 .

PIC

Pole trójkąta BDC jest równe
A) √ - (--3+1)r2 3 B) √- (-3+3)r2 6 C) √- 2 (-3+21)r- D) √- 2 (-3+33)r-

Wersja PDF

Rozwiązanie

Dorysujmy promień OC .

PIC

Trójkąt DOC jest prostokątny oraz OC = r . Zatem

√ -- sin ∡ODC = OC-- = --√r--- = --3√---= --3-. DC 2-3-⋅r 2 3 2 3

To oznacza, że ∘ ∡ODC = 60 , czyli trójkąt ODC jest połówką trójkąta równobocznego. W szczególności

√ -- OD = 1-DC = --3-⋅r 2 3

Korzystamy ze wzoru z sinusem na pole trójkąta

( √ -- ) √ -- √ -- √ -- 1- ∘ 1- --3- 2--3- --3- (--3+--3)r2 PBDC = 2 ⋅DB ⋅DC ⋅sin 60 = 2 ⋅ 3 ⋅ r+ r ⋅ 3 ⋅r ⋅ 2 = 6 .

 
Odpowiedź: B

Wersja PDF