/Szkoła średnia/Zadania testowe/Prawdopodobieństwo/Monety i banknoty

Zadanie nr 8758171

Prawdopodobieństwo, że przy rzucie pięcioma monetami otrzymamy co najmniej trzy orły, jest równe
A) 2302 B) 316- C) 12 D) 11 32

Wersja PDF

Rozwiązanie

Jeżeli o wynikach myślimy jak o piątkach wyników rzutu monetą, to

Ω = 2⋅2 ⋅2 ⋅2 ⋅2 = 32

(w każdym rzucie mamy 2 możliwe wyniki).

Sposób I

Wypisujemy wszystkie możliwe zdarzenia sprzyjające

(o,o,o,o,o ),(r,o,o,o ,o ),(o ,r,o ,o ,o),(o,o,r,o,o) (o,o,o,r,o),(o,o,o,o ,r),(r,r,o,o,o),(r,o,r,o,o) (r,o,o,r,o),(r,o,o,o,r),(o,r,r,o,o),(o,r,o,r,o) (o,r,o,o,r),(o,o,r,r,o),(o,o,r,o,r),(o,o,o,r,r)

W sumie jest ich 16, czyli prawdopodobieństwo wynosi

16 1 ---= -. 32 2

Sposób II

Zdarzenia sprzyjające są piątkami, w których orzeł wypadł co najmniej 3 razy, czyli wypadł 3,4 lub 5 razy. Liczymy ile jest wyników sprzyjających w których orzeł wypadł 3 razy (czyli liczymy na ile sposobów możemy wybrać 3 pozycje ze zbioru 5 pozycji)

( ) 5 = --5!--= 10. 3 3!⋅ 2!

Podobnie liczymy wyniki sprzyjające w których orzeł wypadł 4 razy

( ) 5 4 = 5.

Należy również pamiętać o serii rzutów w której wypadły same orły

( ) 5 5 = 1.

Dodajemy do siebie otrzymane wyniki i otrzymujemy szukane prawdopodobieństwo

10 + 5 + 1 1 -----------= -. 32 2

Sposób III

Niech A będzie zdarzeniem polegającym na otrzymaniu co najmniej trzech orłów, a B zdarzeniem polegającym na otrzymaniu co najmniej trzech reszek. Oczywiście P(A ) = P (B ) (bo monety są symetryczne). Ponadto A ∩ B = ∅ (oba warunki nie mogą być spełnione jednocześnie) oraz A ∪ B = Ω (zawsze są albo co najmniej trzy orły, albo co najmniej trzy reszki). W takim razie

1 1 = P (A ∪ B) = P(A )+ P(B ) = 2P (A ) ⇒ P (A ) = --. 2

 
Odpowiedź: C

Wersja PDF