Zadanie nr 4840167

Pole trójkąta ABC o wierzchołkach A = (0,0) , B = (4,2 ) , C = (2,6) jest równe
A) 5 B) 10 C) 15 D) 20

Rozwiązanie

Szkicujemy opisaną sytuację.

Sposób I

Nawet ze szkicowego rysunku powinno być widać, że trójkąt ABC ma szanse być prostokątnym. Aby się upewnić, że tak jest, liczymy długości jego boków.

∘ ------- √ --- AB = 42 + 22 = 2 0 ∘ ------- √ ------- √ --- AC = 22 + 62 = 4 + 3 6 = 40 ∘ ------------------- √ ------- √ --- BC = (2 − 4)2 + (6 − 2)2 = 4 + 16 = 20.

Zatem faktycznie AB 2 + BC 2 = AC 2 , czyli trójkąt ABC jest prostokątny i jego pole wynosi

1 1 √ --- √ --- P = --AB ⋅BC = --⋅ 20 ⋅ 20 = 10. 2 2

Sposób II

Pole trójkąta ABC możemy obliczyć jako różnice pól prostokąta ADEF i trzech trójkątów prostokątnych: ADB , BEC i CFA . Mamy zatem

P = 4⋅6 − 1⋅ 4⋅2 − 1-⋅4 ⋅2 − 1-⋅2 ⋅6 = 2 4− 4 − 4 − 6 = 10. ABC 2 2 2

Odpowiedź: B