/Szkoła średnia/Zadania testowe/Geometria/Stereometria/Ostrosłup/Trójkątny

Zadanie nr 3109486

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Każdą krawędź czworościanu foremnego wydłużamy dwukrotnie. Pole powierzchni czworościanu zwiększy się
A) dwukrotnie B) czterokrotnie C) ośmiokrotnie D) szesnastokrotnie

Rozwiązanie

Sposób I

Ponieważ pole powierzchni zmienia się jak kwadrat skali podobieństwa pole powierzchni zwiększy się 4 razy.

Sposób II

Przypomnijmy, że każda ze ścian czworościanu foremnego jest identycznym trójkątem równobocznym. Oznaczmy przez a długość krawędzi trójkąta. Pole trójkąta równobocznego jest dana wzorem

√ -- a2 3 Pt = --4--.

Zatem pole całkowite czworościanu jest równe

√ -- a2 3 2√ -- P = 4⋅ ------= a 3. 4

Obliczamy pole powierzchni powiększonego czworościanu

√ -- ′ 3 2 2√ -- P = 4⋅ ---(2a) = 4a 3. 4

Stąd

√ -- P ′ 4a2 3 ---= ---√---= 4. P a2 3

Zatem pole powierzchni zwiększyło się czterokrotnie.  
Odpowiedź: B

Wersja PDF