/Szkoła średnia/Zadania testowe/Geometria/Stereometria/Ostrosłup/Trójkątny

Zadanie nr 6574517

Środki ścian czworościanu foremnego ABCD są wierzchołkami mniejszego czworościanu foremnego KLMN .

PIC

Stosunek objętości czworościanu KLMN do objętości czworościanu ABCD jest równy
A) 8 : 27 B) 1 : 8 C) 1 : 64 D) 1 : 27

Wersja PDF

Rozwiązanie

Połączmy wierzchołek C ze środkami P i Q krawędzi AD i AB odpowiednio.

PIC

Jeżeli oznaczymy przez a długość krawędzi czworościanu ABCD , to P Q = 12a oraz trójkąt CLN jest podobny do trójkąta CP Q w skali 2 : 3. W takim razie krawędź czworościanu KLMN ma długość

2- 2- 1- a- LN = 3P Q = 3 ⋅2a = 3.

Czworościan KLMN jest więc podobny do czworościanu ABCD w skali 1 : 3. Stosunek objętości tych brył jest więc równy

( 1) 3 1 -- = ---. 3 27

 
Odpowiedź: D

Wersja PDF