/Szkoła średnia/Zadania testowe/Geometria/Stereometria/Ostrosłup/Trójkątny

Zadanie nr 7829430

Każdą krawędź czworościanu foremnego wydłużamy czterokrotnie. Ile razy zwiększy się pole powierzchni czworościanu?
A) 4 razy B) 8 razy C) 16 razy D) 64 razy

Wersja PDF

Rozwiązanie

Sposób I

Ponieważ pole powierzchni zmienia się jak kwadrat skali podobieństwa pole powierzchni zwiększy się 16 razy.

Sposób II

Przypomnijmy, że każda ze ścian czworościanu foremnego jest identycznym trójkątem równobocznym. Oznaczmy przez a długość krawędzi trójkąta. Pole trójkąta równobocznego jest dana wzorem

√ -- a2 3 Pt = --4--.

Zatem pole całkowite czworościanu jest równe

√ -- a2 3 2√ -- P = 4⋅ ------= a 3. 4

Obliczamy pole powierzchni powiększonego czworościanu

√ -- ′ 3 2 2√ -- P = 4 ⋅----(4a) = 16a 3. 4

Stąd

√ -- P ′ 16a2 3 ---= ---√----= 16. P a2 3

Zatem pole powierzchni zwiększyło się 16 razy.  
Odpowiedź: C

Wersja PDF