/Szkoła średnia/Zadania testowe/Zadania z treścią/Geometryczne/Pole powierzchni

Zadanie nr 6771571

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Piaskownica ma mieć kształt prostokąta o obwodzie 640 cm i polu największym z możliwych. Piaskownica powinna mieć zatem wymiary
A) 200 cm na 120 cm B) 160 cm na 160 cm C) 140 cm na 180 cm D) 320 cm na 320 cm

Rozwiązanie

Sposób I

Obliczamy pola piaskownic o podanych bokach

2 00⋅1 20 = 2400 0 1 60⋅1 60 = 2560 0 1 40⋅1 80 = 2520 0 3 20⋅3 20 = 1024 00.

Teraz można się nabrać, bo największe pole otrzymujemy dla piaskownicy 320 cm na 320 cm – taka piaskownica ma jednak obwód 1280 cm, a nie 640 cm!

Z piaskownic o obwodzie 640 cm największe pole ma piaskownica o bokach 160 cm na 160 cm.

Sposób II

Oznaczmy przez x,y długości boków piaskownicy. Wówczas z warunku na obwód otrzymujemy

2x+ 2y = 64 0 ⇒ x = 32 0− y.

Chcemy, aby pole było jak największe, czyli szukamy największej wartości funkcji

P = x ⋅y.

Podstawiamy z warunku na obwód i otrzymujemy

P = y(320 − y).

Wykresem tej funkcji jest parabola o ramionach skierowanych w górę i pierwiastkach w punktach 0 i 320. Zatem największą wartość przyjmuje w wierzchołku, czyli dla

320 + 0 y = --------= 160 2

(dokładnie w środku między pierwiastkami). Stąd

x = 1 60− y = 320 − 16 0 = 160.

Zatem największe pole ma prostokąt o bokach długości 160 cm na 160 cm.  
Odpowiedź: B

Wersja PDF