/Szkoła średnia/Zadania testowe/Zadania z treścią/Geometryczne/Pole powierzchni

Zadanie nr 7310584

Metalowa podstawka ma mieć kształt prostokąta o obwodzie 140 cm i polu największym z możliwych. Podstawka powinna mieć zatem wymiary
A) 35 cm na 35 cm B) 20 cm na 50 cm C) 10 cm na 60 cm D) 55 cm na 15 cm

Wersja PDF

Rozwiązanie

Sposób I

Obliczamy pola podstawek o podanych bokach

35 ⋅35 = 12 25 20 ⋅50 = 10 00 10 ⋅60 = 60 0 55 ⋅15 = 82 5.

Widać zatem, że podstawka o bokach 35 cm na 35 cm ma największe pole.

Sposób II

Oznaczmy przez x,y długości boków podstawki. Wówczas z warunku na obwód otrzymujemy

2x + 2y = 140 ⇒ x = 70 − y.

Chcemy, aby pole było jak największe, czyli szukamy największej wartości funkcji

P = x ⋅y.

Podstawiamy z warunku na obwód i otrzymujemy

P = y(7 0− y).

Wykresem tej funkcji jest parabola o ramionach skierowanych w górę i pierwiastkach w punktach 0 i 70. Zatem największą wartość przyjmuje w wierzchołku, czyli dla

70-+-0- y = 2 = 35

(dokładnie w środku między pierwiastkami). Stąd

x = 70− y = 70 − 35 = 35.

Zatem największe pole ma prostokąt o bokach długości 35 cm na 35 cm.  
Odpowiedź: A

Wersja PDF