/Szkoła średnia/Zadania maturalne/Matura 2010/Matura
Poprawkowy Egzamin Maturalny
z Matematyki poziom rozszerzony 23 sierpnia 2010 Czas pracy: 180 minut
Wyznacz wszystkie rozwiązania równania należące do przedziału
.
Rozwiąż nierówność .
Dane są punkty i prosta
o równaniu
. Oblicz współrzędne punktu
leżącego na prostej
, dla którego suma
jest najmniejsza.
Wyznacz wszystkie wartości parametru , dla których równanie
ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste, których suma jest mniejsza od
.
Narysuj wykres funkcji określonej wzorem
i na jego podstawie wyznacz liczbę rozwiązań równania
w zależności od wartości parametru
.
Wykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych spełniona jest nierówność
![∘ -------- ∘ -------- 4 a4 +-b4 a2 +-b2 2 ≥ 2 .](https://img.zadania.info/zes/0082458/HzesT17x.gif)
Objętość graniastosłupa prawidłowego trójkątnego jest równa , a pole powierzchni bocznej tego graniastosłupa jest równe 36. Oblicz sinus kąta, jaki tworzy przekątna ściany bocznej z sąsiednią ścianą boczną.
Odcinek jest zawarty w dwusiecznej kąta
trójkąta
. Kąty trójkąta
mają miary
. Styczna do okręgu opisanego na tym trójkącie w punkcie
przecina prostą
w punkcie
(zobacz rysunek). Oblicz, ile stopni ma każdy z kątów trójkąta
.
Liczby 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ustawiamy losowo w szeregu. Oblicz prawdopodobieństwo, że w tym ustawieniu suma każdych dwóch sąsiednich liczb będzie nieparzysta. Wynik podaj w postaci ułamka nieskracalnego.
Punkt jest wierzchołkiem rombu
o polu równym 300. Punkt
jest środkiem symetrii tego rombu. Wyznacz współrzędne pozostałych wierzchołków tego rombu.
Ciąg jest geometryczny i
, zaś ciąg
jest arytmetyczny. Oblicz
.