/Studia/Analiza/Zastosowania całek/Objętość

Zadanie nr 3066057

Oblicz objętość bryły powstałej w wyniku obrotu wokół osi Ox trapezu krzywoliniowego ograniczonego przez wykres funkcji f(x) = x 2 + 1 , proste x = − 1 i x = 1 , oraz oś Ox .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Najpierw obrazek.

PIC

Żądaną objętość obliczymy korzystając ze wzoru

∫ b V = π (f(x ))2dx a

na objętość bryły otrzymanej przez obrót wokół osi Ox obszaru zawartego pod wykresem funkcji y = f(x ) , gdzie x ∈ [a,b] .

Mamy zatem

∫ 1 2 2 V = π (x + 1) dx . −1

Ponieważ funkcja podcałkowa jest parzysta mamy

∫ 1 2 2 ∫ 1 2 2 V = π (x + 1) dx = 2π (x + 1) dx = ∫ −1 0 [ ] 1 4 2 1- 5 2- 3 1 = 2π (x + 2x + 1)dx = 2π 5 x + 3x + x = 0( ) 0 1- 2- 3-+-10-+-15- 56- = 2π ⋅ 5 + 3 + 1 = 2π ⋅ 15 = 15 π.

 
Odpowiedź: 56 15π

Wersja PDF