Zadanie nr 5824356
Oblicz pole elipsy , gdzie
i
.
Rozwiązanie
Na początek obrazek.
Sposób I
Pole elipsy jest równe całce podwójnej
![∫∫ 1dxdy E](https://img.zadania.info/zad/5824356/HzadR2x.gif)
Całkę liczymy zmieniając współrzędne
![x = ar cosφ y = brsin φ,](https://img.zadania.info/zad/5824356/HzadR3x.gif)
gdzie i
.
![PIC](https://img.zadania.info/zad/5824356/HzadR6x.gif)
Liczymy jakobian tej zmiany zmiennych
![| | | | ||∂∂xr ∂∂xφ|| |a cosφ −ar sin φ| 2 2 J = ||∂y ∂y|| = ||bsinφ brcos φ || = abr cos φ + abrsin φ = abr. ∂r ∂φ](https://img.zadania.info/zad/5824356/HzadR7x.gif)
Mamy zatem
![∫∫ ∫ ∫ E 1dxdy = P abrd φdr,](https://img.zadania.info/zad/5824356/HzadR8x.gif)
gdzie całkę z prawej strony liczymy po prostokącie . Teraz całkę podwójną zamieniamy na całkę iterowaną.
![( ) ( ) ∫ ∫ ∫ 1 ∫ 2π ∫ 1 ∫ 2π abrdφdr = ab rdφ dr = ab r 1d φ dr = P 0 0 [ 0 ] 0 ∫ 1 ∫ 1 1 2 1 = ab r ⋅2πdr = 2πab rdr = 2πab 2r = πab . 0 0 0](https://img.zadania.info/zad/5824356/HzadR10x.gif)
Sposób II
Rozwiązując nierówność opisującą elipsę względem zmiennej otrzymujemy układ dwóch nierówności:
![b∘ -------- b∘ -------- − -- a2 − x2 ≤ y ≤ -- a2 − x2. a a](https://img.zadania.info/zad/5824356/HzadR12x.gif)
Ponadto zmienia się w przedziale
.
Stąd pole elipsy równa się
![∫ a [ b∘ -------- b ∘ -------] 2b ∫ a ∘ -------- P = -- a2 − x 2 +-- a2 − x2 dx = --- a2 − x2dx −a a a a −a](https://img.zadania.info/zad/5824356/HzadR15x.gif)
Ostatnią całkę obliczymy przez podstawienie
![x = asin t, − π-≤ t ≤ π-, dx = acos tdt 2 2](https://img.zadania.info/zad/5824356/HzadR16x.gif)
Liczymy
![∫ a ∘ -------- ∫ π ∘ ------------- a2 − x2dx = 2 a a2 − a2sin2tco stdt = −a − π2 ∫ π ∘ ---------- ∫ π √ ------ ∫ π = a 2 2 1− sin 2tco stdt = a2 2 cos2t costdt = a2 2 co s2 tdt, − π2 −π2 − π2](https://img.zadania.info/zad/5824356/HzadR17x.gif)
bo dla
. Aby obliczyć ostatnią całką korzystamy ze wzoru
.
![∫ π2 ∫ π2 1 + co s2t [∫ π2 1 ∫ π2 cos2t ] a2 cos2tdt = a2 ----------dt = a2 -dt + ------dt = − π2 −π2 2 − π2 2 − π2 2 [ ]π2 2 = a2 t-+ sin2t- = a-π-. 2 4 − π2 2](https://img.zadania.info/zad/5824356/HzadR21x.gif)
Zatem pole elipsy równa się
![2 P = 2b-⋅ a-π-= πab . a 2](https://img.zadania.info/zad/5824356/HzadR22x.gif)
Sposób III
Tym razem skorzystamy z dwuwymiarowej wersji twierdzenia Stokesa, czyli z twierdzenia Greena
![∫ ∫ ∫ ( ∂Q ∂P ) (P dx+ Qdy ) = ----− --- dxdy , ∂E E ∂x ∂y](https://img.zadania.info/zad/5824356/HzadR23x.gif)
gdzie jest dodatnio zorientowanym brzegiem obszaru
. Chcemy z prawej strony tego wzoru mieć
, więc bierzemy np.
i
. i mamy
![∫∫ ∫ ( ) 1dxdy = − ydx + xdy . E ∂E 2 2](https://img.zadania.info/zad/5824356/HzadR29x.gif)
Całkę krzywoliniową z prawej strony liczymy parametryzując brzeg elipsy wzorem
![(x,y) = (a cosφ ,bsin φ), gdzie φ ∈ [0,2π ]](https://img.zadania.info/zad/5824356/HzadR30x.gif)
Mamy zatem
![∫ ( y- x- ) ∂E − 2dx + 2dy = ∫ 2π ( ) = − bsin-φ-⋅(−a sin φ) + a-cosφ- ⋅(bco sφ) dφ = 0 2 2 ab∫ 2π ab ∫ 2π = --- (sin 2φ + co s2φ)d φ = --- 1dφ = πab . 2 0 2 0](https://img.zadania.info/zad/5824356/HzadR31x.gif)
Sposób IV
Tym razem skorzystamy ze znanego wzoru na pole koła i odrobiny algebry liniowej.
![PIC](https://img.zadania.info/zad/5824356/HzadR32x.gif)
Jeżeli jest afinicznym odwzorowaniem liniowym
![(x,y ) = A (u ,w) = (au,bw )](https://img.zadania.info/zad/5824356/HzadR34x.gif)
to odwzorowanie to zmienia pole powierzchni tak, jak jego wyznacznik, czyli mnoży pole powierzchni przez
![[ ] d etA = det a 0 = ab. 0 b](https://img.zadania.info/zad/5824356/HzadR35x.gif)
Ponadto, obrazem okręgu jednostkowego
![2 2 u + v = 1](https://img.zadania.info/zad/5824356/HzadR36x.gif)
przy tym odwzorowaniu jest krzywa opisana równaniem
![(x )2 ( y)2 -- + -- = 1, a b](https://img.zadania.info/zad/5824356/HzadR37x.gif)
czyli dana elipsa. Zatem pole elipsy jest równe .
Odpowiedź: