Zadanie nr 8584532
Oblicz pole koła o promieniu .
Rozwiązanie
Na początek obrazek.
Sposób I
Pole koła jest równe całce podwójnej
![∫∫ 1dxdy K](https://img.zadania.info/zad/8584532/HzadR2x.gif)
Całkę liczymy zmieniając współrzędne na biegunowe
![x = rcos φ y = rsinφ ,](https://img.zadania.info/zad/8584532/HzadR3x.gif)
gdzie i
.
![PIC](https://img.zadania.info/zad/8584532/HzadR6x.gif)
Liczymy jakobian tej zmiany zmiennych
![||∂x ∂x|| | | J = || ∂r ∂φ ||= ||cos φ −r sin φ|| = rco s2φ + r sin 2φ = r. |∂y ∂y| |sinφ rcos φ | ∂r ∂φ](https://img.zadania.info/zad/8584532/HzadR7x.gif)
Mamy zatem
![∫∫ ∫ ∫ 1dxdy = rdφdr, K P](https://img.zadania.info/zad/8584532/HzadR8x.gif)
gdzie całkę z prawej strony liczymy po prostokącie . Teraz całkę podwójną zamieniamy na całkę iterowaną.
![∫∫ ∫ R (∫ 2π ) ∫ R ( ∫ 2π ) rdφdr = rdφ dr = r 1dφ dr = P 0 0 0 0 ∫ R ∫ R [ ]R = r ⋅2πdr = 2π rdr = 2π 1r2 = πR 2. 0 0 2 0](https://img.zadania.info/zad/8584532/HzadR10x.gif)
Sposób II
Rozwiązując nierówność opisującą koło względem zmiennej otrzymujemy układ dwóch nierówności:
![∘ -------- ∘ -------- − R 2 − x2 ≤ y ≤ R2 − x2.](https://img.zadania.info/zad/8584532/HzadR12x.gif)
Ponadto zmienia się w przedziale
.
Stąd pole elipsy równa się
![∫ R [∘ -------- ∘ --------] ∫ R ∘ -------- P = R 2 − x2 + R 2 − x 2 dx = 2 R 2 − x 2dx −R −R](https://img.zadania.info/zad/8584532/HzadR15x.gif)
Ostatnią całkę obliczymy przez podstawienie
![x = R sin t, − π-≤ t ≤ π-, dx = R costdt 2 2](https://img.zadania.info/zad/8584532/HzadR16x.gif)
Liczymy
![∫ R ∘ -------- ∫ π ∘ -------------- R2 − x2dx = 2 R R 2 − R2 sin 2tcos tdt = −R − π2 ∫ π ∘ ---------- ∫ π √ ------ ∫ π = R2 2 1− sin2 tcos tdt = R2 2 cos2 tcos tdt = R2 2 cos2 tdt, − π2 −π2 −π2](https://img.zadania.info/zad/8584532/HzadR17x.gif)
bo dla
. Aby obliczyć ostatnią całką korzystamy ze wzoru
.
![∫ π2 ∫ π2 1+ cos2t [∫ π2 1 ∫ π2 c os2t ] R2 co s2tdt = R 2 ---------dt = R2 -dt+ ------dt = − π2 − π2 2 − π2 2 − π2 2 [ ] π2 2 = R 2 -t+ sin-2t- = R--π. 2 4 −π2 2](https://img.zadania.info/zad/8584532/HzadR21x.gif)
Zatem pole koła równa się
![2 P = 2⋅ R-π--= πR 2. 2](https://img.zadania.info/zad/8584532/HzadR22x.gif)
Sposób III
Tym razem skorzystamy z dwuwymiarowej wersji twierdzenia Stokesa, czyli z twierdzenia Greena
![∫ ∫ ∫ ( ∂Q ∂P ) (P dx+ Qdy ) = ----− --- dxdy , ∂E E ∂x ∂y](https://img.zadania.info/zad/8584532/HzadR23x.gif)
gdzie jest dodatnio zorientowanym brzegiem obszaru
. Chcemy z prawej strony tego wzoru mieć
, więc bierzemy np.
i
. i mamy
![∫∫ ∫ ( y x ) 1dxdy = − -dx + -dy . E ∂E 2 2](https://img.zadania.info/zad/8584532/HzadR29x.gif)
Całkę krzywoliniową z prawej strony liczymy parametryzując brzeg koła wzorem
![(x,y ) = (R cosφ ,R sin φ ), gdzie φ ∈ [0,2π ]](https://img.zadania.info/zad/8584532/HzadR30x.gif)
Mamy zatem
![∫ ( y x ) − -dx + -dy = ∂E∫ 2( 2 ) 2π R-sinφ- R-co-sφ- = 0 − 2 ⋅ (−R sin φ) + 2 ⋅(R co sφ) dφ = 2 ∫ 2π 2 ∫ 2π = R-- (sin2φ + cos2φ )dφ = R-- 1dφ = πR 2. 2 0 2 0](https://img.zadania.info/zad/8584532/HzadR31x.gif)
Odpowiedź: