/Studia/Analiza/Zastosowania całek/Pole powierzchni/Przestrzenne

Zadanie nr 3587985

Oblicz pole powierzchni sfery o promieniu R .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Sposób I

Korzystamy ze wzoru

∫ b ∘ ------------- 2π f(x) 1 + (f ′(x ))2dx a

na pole powierzchni otrzymanej przez obrót wokół osi Ox wykresu funkcji y = f(x ) , gdzie x ∈ [a,b] .

PIC

Sfera o promieniu R powstaje z obrotu wokół osi Ox krzywej

∘ --2----2 y = R − x , −R ≤ x ≤ R .

Mamy

(∘ --------)′ −x f ′(x ) = R 2 − x2 = √--------, ∘ --------R2-− x2 ∘ ------------ 2 1+ [f ′(x )]2 = 1+ ---x----= √---r-----. R 2 − x 2 R 2 − x2

Zatem

∫ R ∘ --2----2 ----R----- P = 2π −R R − x ⋅ √R-2-−-x2dx = ∫ R = 2πR 1dx = 4πR 2. −R

Sposób II

Tym razem policzmy pole powierzchni górnej półsfery, a na koniec wynik pomnożymy przez 2. O górnej półsferze możemy myśleć jak o wykresie funkcji f : D → R danej wzorem ∘ ------------- f (x,y) = R 2 − x2 − y2 , gdzie D oznacza dysk 2 2 2 x + y ≤ R . Skorzystamy ze wzoru pole wykresu funkcji dwóch zmiennych

∫ ∫ ∘ ----[---]-2--[---]-2 ∂f- ∂f- D 1 + ∂x + ∂y dxdy

W naszej sytuacji mamy

[ ] 2 [ ]2 2 ∂f- = --∘---−-2x------- = ------x------ ∂x 2 R 2 − x 2 − y 2 R 2 − x2 − y2 [ ] [ ] 2 ∂f 2 − 2y y2 --- = -∘---2----2----2- = --2----2---2-. ∂y 2 R − x − y R − x − y

Zatem

∘ ----[---]----[---]-- ∘ ------------- ∫ ∫ ∂f 2 ∂f 2 ∫∫ R2 1 + --- + --- dxdy = -2----2----2dxdy = D ∂x ∂y ∫∫D R − x − y -------R------- = ∘ -2----2----2dxdy D R − x − y

Aby obliczyć ostatnią całkę zmieniamy współrzędne na biegunowe.

x = Rr cost y = Rr sin t ||∂x ∂x|| || || J = ||∂r ∂t|| = R 2|cos t −r sin t|= R2r(cos2 t+ sin2 t) = R2r. |∂∂yr ∂∂yt| |sint rco st |

Zatem

∫∫ R ∘--------------dxdy = D R2 − x2 − y2 ∫ 1 ∫ 2π R = ∘------------------------------⋅R 2rdtdr = 0 0 R 2 − R 2r2co s2 t− R 2r2sin2 t ∫ 1 ∫ 2π 1 ∫ 1 r ( ∫ 2π ) = √-------⋅R 2rdtdr = R 2 √------- 1dt dr = 0 0 1− r2 0 1 − r2 0 2∫ 1 r 2[∘ ------]1 2 = 2πR √------2dr = 2πR 1 − r2 = 2πR . 0 1− r 0

Zatem pole całej sfery jest równe 4 πR 2 .

Sposób III

W obu poprzednich sposobach korzystaliśmy z gotowych wzorów – jeżeli chcemy tego uniknąć musimy odrobinę głębiej wejść w całkowanie 2-form. Chcemy policzyć całkę powierzchniową

∫ dS, S

gdzie S jest powierzchnią sfery o promieniu R , a dS jest dwuwymiarową formą objętości na sferze. Aby obliczyć tę całkę używamy parametryzacji sferycznej

x = R cos 𝜃cos φ y = R cos 𝜃sin φ z = R sin𝜃 ,

gdzie π π φ ∈ [0,2π ], 𝜃 ∈ [− 2, 2] .

PIC

Jeżeli oznaczmy powyższą zmianę zmiennych przez F : R2 → R 3 to

∂F --- = [−R cos𝜃 sin φ ,R cos𝜃 cosφ ,0] ∂φ ∂F- ∂𝜃 = [−R sin 𝜃co sφ ,−R sin 𝜃sin φ,R cos 𝜃].

oraz

||||∂F ||||2 ||||---|||| = R 2co s2𝜃sin2 φ + R 2cos2 𝜃cos2 φ = ∂φ = R 2co s2𝜃(sin2φ + cos2φ ) = R2 cos2𝜃 || || ||||∂F-||||2 2 2 2 2 2 2 2 2 ||∂𝜃 || = R sin 𝜃cos φ + R sin 𝜃 sin φ + R co s 𝜃 = 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 = R sin 𝜃(cos φ + sin φ) + R cos 𝜃 = R (sin 𝜃 + cos 𝜃 ) = R ∂F ∂F ---∘ --- = R 2sin 𝜃cos 𝜃sin φ cosφ − R 2sin 𝜃co s𝜃sin φ cosφ = 0 ∂φ ∂ 𝜃

Jeżeli przez [ ] ∂F- J = ∂∂φF ∂𝜃 oznaczymy macierz Jacobiego tej zmiany zmiennych to

┌│ |-||--||---------| ∘ ---------- │ || ||||∂F|||| ∂F-∘ ∂F|| dS = det(Jt ⋅J) = │∘ | ∂φ ∂φ|| ∂|𝜃|| = || ∂F∂φ-∘ ∂∂F𝜃 ||||∂F∂𝜃|||||| ∘ -------------------------------- |||| ||||2 |||| ||||2 ( ) 2 √ --------- = ||∂F-|| ⋅||∂F-|| − ∂F-∘ ∂F- = R 4cos2𝜃 = ||∂φ || ||∂𝜃 || ∂φ ∂𝜃 2 = R cos𝜃.

Zatem

∫ ∫ 2π ∫ π2 ∫ 2π π dS = R 2co s𝜃d𝜃d φ = R 2 [sin 𝜃]2πd φ = S 0 − π2 0 − 2 ∫ 2π = 2R 2 1d φ = 4πR 2. 0

 
Odpowiedź: 2 4πR

Wersja PDF