Sposób I
Korzystamy ze wzoru
na pole powierzchni otrzymanej przez obrót wokół osi wykresu funkcji
, gdzie
.
Sfera o promieniu powstaje z obrotu wokół osi
krzywej
Mamy
Zatem
Sposób II
Tym razem policzmy pole powierzchni górnej półsfery, a na koniec wynik pomnożymy przez 2. O górnej półsferze możemy myśleć jak o wykresie funkcji danej wzorem
, gdzie
oznacza dysk
. Skorzystamy ze wzoru pole wykresu funkcji dwóch zmiennych
W naszej sytuacji mamy
Zatem
Aby obliczyć ostatnią całkę zmieniamy współrzędne na biegunowe.
Zatem
Zatem pole całej sfery jest równe .
Sposób III
W obu poprzednich sposobach korzystaliśmy z gotowych wzorów – jeżeli chcemy tego uniknąć musimy odrobinę głębiej wejść w całkowanie 2-form. Chcemy policzyć całkę powierzchniową
gdzie jest powierzchnią sfery o promieniu
, a
jest dwuwymiarową formą objętości na sferze. Aby obliczyć tę całkę używamy parametryzacji sferycznej
gdzie .
Jeżeli oznaczmy powyższą zmianę zmiennych przez to
oraz
Jeżeli przez oznaczymy macierz Jacobiego tej zmiany zmiennych to
Zatem
Odpowiedź: