/Szkoła średnia/Kombinatoryka/Liczba osób

Zadanie nr 8745952

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

W skład pociągu osobowego wchodzi lokomotywa (która znajduje się na początku składu) i n > 5 wagonów osobowych, wśród których są dokładnie trzy wagony pierwszej klasy. Liczba takich ustawień kolejności wagonów, w których trzy wagony pierwszej klasy znajdują się bezpośrednio za sobą jest 12 razy mniejsza niż liczba ustawień wagonów, w których żaden z wagonów pierwszej klasy nie znajduje się ani na końcu pociągu ani bezpośrednio za lokomotywą. Oblicz n .

Rozwiązanie

Obliczmy na ile sposobów możemy ustawić n wagonów tak, aby wagony pierwszej klasy znajdowały się bezpośrednio za sobą. Najpierw na (n − 3)! sposobów ustawiamy pozostałe n − 3 wagony, potem na (n − 2) sposoby wybieramy miejsce dla wagonów pierwszej klasy, i na koniec na 3! sposobów umieszczamy te wagony. W sumie jest więc

(n− 3)!⋅(n − 2 )⋅3! = 6(n − 2 )!

takich ustawień.

Obliczmy teraz, na ile sposobów możemy ustawić wagony tak, aby ani na końcu ani na początku nie znajdował się wagon pierwszej klasy. Najpierw spośród n − 2 wewnętrznych miejsc wybieramy 3 miejsca dla wagonów pierwszej klasy – możemy to zrobić na

( ) n− 2 (n-−-2)(n-−-3-)(n−--4) 3 = 3!

sposobów. Potem na 3! sposobów możemy umieścić wagony pierwszej klasy i na koniec na (n− 3)! sposobów rozmieszczamy pozostałe wagony. W sumie jest więc

(n-−-2)(n-−-3)(n-−-4-)⋅3 !⋅(n − 3)! = (n − 2)!(n − 3)(n − 4) 3!

takich ustawień. Pozostało teraz rozwiązać równanie

(n − 2)!(n − 3)(n − 4 ) n2 − 7n + 1 2 1 2 = -----------------------= ------------- / ⋅6 6(n − 2)! 6 0 = n2 − 7n − 60 2 Δ = 49 + 240 = 289 = 17 7 − 17 7+ 1 7 n = -------< 0 lub n = -------= 12. 2 2

 
Odpowiedź: n = 12

Wersja PDF