Zadanie nr 8745952
W skład pociągu osobowego wchodzi lokomotywa (która znajduje się na początku składu) i wagonów osobowych, wśród których są dokładnie trzy wagony pierwszej klasy. Liczba takich ustawień kolejności wagonów, w których trzy wagony pierwszej klasy znajdują się bezpośrednio za sobą jest 12 razy mniejsza niż liczba ustawień wagonów, w których żaden z wagonów pierwszej klasy nie znajduje się ani na końcu pociągu ani bezpośrednio za lokomotywą. Oblicz
.
Rozwiązanie
Obliczmy na ile sposobów możemy ustawić wagonów tak, aby wagony pierwszej klasy znajdowały się bezpośrednio za sobą. Najpierw na
sposobów ustawiamy pozostałe
wagony, potem na
sposoby wybieramy miejsce dla wagonów pierwszej klasy, i na koniec na
sposobów umieszczamy te wagony. W sumie jest więc
![(n− 3)!⋅(n − 2 )⋅3! = 6(n − 2 )!](https://img.zadania.info/zad/8745952/HzadR5x.png)
takich ustawień.
Obliczmy teraz, na ile sposobów możemy ustawić wagony tak, aby ani na końcu ani na początku nie znajdował się wagon pierwszej klasy. Najpierw spośród wewnętrznych miejsc wybieramy 3 miejsca dla wagonów pierwszej klasy – możemy to zrobić na
![( ) n− 2 (n-−-2)(n-−-3-)(n−--4) 3 = 3!](https://img.zadania.info/zad/8745952/HzadR7x.png)
sposobów. Potem na 3! sposobów możemy umieścić wagony pierwszej klasy i na koniec na sposobów rozmieszczamy pozostałe wagony. W sumie jest więc
![(n-−-2)(n-−-3)(n-−-4-)⋅3 !⋅(n − 3)! = (n − 2)!(n − 3)(n − 4) 3!](https://img.zadania.info/zad/8745952/HzadR9x.png)
takich ustawień. Pozostało teraz rozwiązać równanie
![(n − 2)!(n − 3)(n − 4 ) n2 − 7n + 1 2 1 2 = -----------------------= ------------- / ⋅6 6(n − 2)! 6 0 = n2 − 7n − 60 2 Δ = 49 + 240 = 289 = 17 7 − 17 7+ 1 7 n = -------< 0 lub n = -------= 12. 2 2](https://img.zadania.info/zad/8745952/HzadR10x.png)
Odpowiedź: