Zadanie nr 3871979

Na płaskiej powierzchni położono trzy kule K 1,K2,K 3 , każda o promieniu 2 tak, że kule K 1 i są styczne w punkcie , kule i K 3 są styczne w punkcie , a kule K 3 i są styczne w punkcie . Następnie położono na tych kulach kulę K 4 o promieniu 3, która jest styczna do kul K ,K ,K 1 2 3 odpowiednio w punktach S1,S 2,S 3 .

Uzasadnij, że odcinki i są równoległe.
Oblicz obwód trapezu .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Oczywiście rozpoczynamy od narysowania opisanej sytuacji.

Zrobienie nawet schematycznego rysunku nie jest łatwe, ale musimy sobie co najmniej tyle narysować, żeby było widać, że wystarczy się zajmować czworościanem O O O O 1 2 3 4 , gdzie punkty te są środkami kolejnych kul. Punkty styczności kul będą dzielić krawędzie tego czworościanu w sposób pokazany na prawym rysunku.

W trójkącie mamy
$O-1O-4 S-1O4 O 2O 4 = S 2O4,$

co na mocy twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Talesa oznacza, że odcinki i są równoległe. Podobnie, odcinek łączy środki boków w trójkącie , czyli jest równoległy do odcinka . Skoro każdy z odcinków i jest równoległy do odcinka , to muszą one być równoległe.
Łatwo wyliczyć długości podstaw trapezu. Z zauważonych w poprzednim podpunkcie równoległości mamy
$P P = 1O O = 2 1 2 2 1 2$

oraz

$O 4S1 O 4O1 ----- = ------ S1S2 O 1O2 --3-- 5- 12- S 1S2 = 4 ⇒ S1S 2 = 5 .$

Odrobinę trudniej jest z ramieniem trapezu – widać, że da się wyliczyć długość odcinka z trójkąta jeżeli tylko będziemy znali . Cosinus ten można wyliczyć z twierdzenia cosinusów w trójkącie , ale można też prościej: trójkąt jest równoramienny, więc środkowa jest jego wysokością. Zatem z trójkąta mamy

$cos α = O-2P1-= 2-. O 2O 4 5$

Pozostało teraz policzyć długość odcinka z twierdzenia cosinusów w trójkącie .

$(P1S2)2 = (O 2P1)2 + (O 2S 2)2 − 2O 2P 1 ⋅O 2S2co sα 2 16 ( 4) 4 ⋅6 (P1S2)2 = 4 + 4 − 8 ⋅--= 8− ---= 4 2− -- = ---- -- --5 5 5 5 2 √ 6 2 √ 30 P1S2 = -√--- = ------. 5 5$

Zatem obwód trapezu jest równy

$√ --- √ --- 2 + 12-+ 2⋅ 2--30-= 22+--4--30. 5 5 5$

Odpowiedź: