Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 3871979

Na płaskiej powierzchni położono trzy kule K 1,K2,K 3 , każda o promieniu 2 tak, że kule K 1 i K2 są styczne w punkcie P3 , kule K2 i K 3 są styczne w punkcie P1 , a kule K 3 i K1 są styczne w punkcie P2 . Następnie położono na tych kulach kulę K 4 o promieniu 3, która jest styczna do kul K ,K ,K 1 2 3 odpowiednio w punktach S1,S 2,S 3 .

  • Uzasadnij, że odcinki P1P 2 i S 1S2 są równoległe.
  • Oblicz obwód trapezu P1P2S 1S2 .
Wersja PDF
Rozwiązanie

Oczywiście rozpoczynamy od narysowania opisanej sytuacji.


PIC


Zrobienie nawet schematycznego rysunku nie jest łatwe, ale musimy sobie co najmniej tyle narysować, żeby było widać, że wystarczy się zajmować czworościanem O O O O 1 2 3 4 , gdzie punkty te są środkami kolejnych kul. Punkty styczności kul będą dzielić krawędzie tego czworościanu w sposób pokazany na prawym rysunku.

  • W trójkącie O 1O4O 2 mamy
    O-1O-4 S-1O4 O 2O 4 = S 2O4,

    co na mocy twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Talesa oznacza, że odcinki S1S2 i O1O 2 są równoległe. Podobnie, odcinek P1P2 łączy środki boków w trójkącie O 1O 2O3 , czyli jest równoległy do odcinka O 1O2 . Skoro każdy z odcinków S1S2 i P 1P2 jest równoległy do odcinka O O 1 2 , to muszą one być równoległe.

  • Łatwo wyliczyć długości podstaw trapezu. Z zauważonych w poprzednim podpunkcie równoległości mamy
    P P = 1O O = 2 1 2 2 1 2

    oraz

    O 4S1 O 4O1 ----- = ------ S1S2 O 1O2 --3-- 5- 12- S 1S2 = 4 ⇒ S1S 2 = 5 .

    Odrobinę trudniej jest z ramieniem trapezu – widać, że da się wyliczyć długość odcinka P1S 2 z trójkąta P 1S2O 2 jeżeli tylko będziemy znali cosα . Cosinus ten można wyliczyć z twierdzenia cosinusów w trójkącie O2O 3O 4 , ale można też prościej: trójkąt O O O 2 3 4 jest równoramienny, więc środkowa O P 4 1 jest jego wysokością. Zatem z trójkąta O 2P1O 4 mamy

    cos α = O-2P1-= 2-. O 2O 4 5

    Pozostało teraz policzyć długość odcinka P1S 2 z twierdzenia cosinusów w trójkącie O2P 1S2 .

    (P1S2)2 = (O 2P1)2 + (O 2S 2)2 − 2O 2P 1 ⋅O 2S2co sα 2 16 ( 4) 4 ⋅6 (P1S2)2 = 4 + 4 − 8 ⋅--= 8− ---= 4 2− -- = ---- -- --5 5 5 5 2 √ 6 2 √ 30 P1S2 = -√--- = ------. 5 5

    Zatem obwód trapezu jest równy

     √ --- √ --- 2 + 12-+ 2⋅ 2--30-= 22+--4--30. 5 5 5

     
    Odpowiedź:  √-- 22+4-30- 5

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!