/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Czworokąt/Prostokąt/Oblicz długość

Zadanie nr 7079488

Boki prostokąta ABCD mają długości |AB | = 13 i |BC | = 12 . Punkt E jest punktem boku DC takim, że |EC | = 5 , a punkt F jest takim punktem odcinka BE , że |FB | = 2 . Oblicz promień okręgu opisanego na trójkącie ABF .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Rozpoczynamy od szkicowego rysunku.

PIC

Sposób I

Promień okręgu opisanego na trójkącie ABF możemy obliczyć stosując twierdzenie sinusów, ale do tego potrzebujemy znać długość boku trójkąta oraz sinus kąta leżącego naprzeciwko tego boku. Dość łatwo jest obliczyć sin α = sin ∡ABF , więc od tego zaczniemy. Od razu obliczymy też co sα , bo przyda nam się do obliczenia długości odcinka AF (z twierdzenia cosinusów).

Na mocy twierdzenia Pitagorasa

∘ ----------- √ --------- EB = EC 2 + CB 2 = 25 + 144 = 13.

Stąd

sin α = sin(90∘ − ∡EBC ) = cos∡EBC = CB--= 12- EB 13 ∘ CE 5 co sα = co s(90 − ∡EBC ) = sin∡EBC = ----= --. EB 13

Przy pomocy twierdzenia cosinusów obliczamy teraz długość odcinka AF .

2 2 2 AF = BA + BF − 2⋅BA ⋅BF cosα 2 5-- AF = 169 + 4 − 2 ⋅13 ⋅2⋅ 13 2 AF = 1√73-− 20 = 153 = 9 ⋅17 AF = 3 17.

Pozostało skorzystać z twierdzenia sinusów.

√ --- √ --- √ --- AF 3 17 13 17 13 1 7 2R = -----= --12--= ------- ⇒ R = -------. sin α 13 4 8

Sposób II

Tym razem obliczymy pole i wszystkie boki trójkąta ABF , aby móc skorzystać ze wzoru na pole P = a4bRc .

Zauważmy najpierw, że

∘ ----------- √ --------- EB = BC 2 + CE 2 = 144 + 25 = 13.

Niech K i L będą rzutami punktów E i F na prostą AB . Z podobieństwa trójkątów BLF i BKE mamy

FL F B 2 24 ----= --- ⇒ FL = ---⋅12 = --. EK EB 13 13 -LB-= F-B ⇒ LB = 2--⋅5 = 10. KB EB 13 13

Teraz możemy obliczyć pole trójkąta ABF .

P = 1-AB ⋅ FL = 1-⋅13 ⋅ 24-= 12. 2 2 13

Długość odcinka AF obliczamy z trójkąta prostokątnego ALF .

∘ ----------- ∘ ------------------ AF = AL 2 + F L2 = (13− LB )2 + F L2 = ∘ (-----)-----(---)-- ∘ ------- 1 59 2 2 4 2 2 5857 √ ---- √ --- = -13- + 1-3 = ----2- = 153 = 3 1 7. 13

Pozostało skorzystać ze wzoru na pole abc P = 4R .

√ --- √ --- 12 = P = 2⋅1-3⋅3---17- ⇒ R = 13---17. 4R 8

 
Odpowiedź: √-- R = 13817

Wersja PDF