Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 7079488

Boki prostokąta ABCD mają długości |AB | = 13 i |BC | = 12 . Punkt E jest punktem boku DC takim, że |EC | = 5 , a punkt F jest takim punktem odcinka BE , że |FB | = 2 . Oblicz promień okręgu opisanego na trójkącie ABF .

Wersja PDF
Rozwiązanie

Rozpoczynamy od szkicowego rysunku.


PIC


Sposób I

Promień okręgu opisanego na trójkącie ABF możemy obliczyć stosując twierdzenie sinusów, ale do tego potrzebujemy znać długość boku trójkąta oraz sinus kąta leżącego naprzeciwko tego boku. Dość łatwo jest obliczyć sin α = sin ∡ABF , więc od tego zaczniemy. Od razu obliczymy też co sα , bo przyda nam się do obliczenia długości odcinka AF (z twierdzenia cosinusów).

Na mocy twierdzenia Pitagorasa

 ∘ ----------- √ --------- EB = EC 2 + CB 2 = 25 + 144 = 13.

Stąd

sin α = sin(90∘ − ∡EBC ) = cos∡EBC = CB--= 12- EB 13 ∘ CE 5 co sα = co s(90 − ∡EBC ) = sin∡EBC = ----= --. EB 13

Przy pomocy twierdzenia cosinusów obliczamy teraz długość odcinka AF .

 2 2 2 AF = BA + BF − 2⋅BA ⋅BF cosα 2 5-- AF = 169 + 4 − 2 ⋅13 ⋅2⋅ 13 2 AF = 1√73-− 20 = 153 = 9 ⋅17 AF = 3 17.

Pozostało skorzystać z twierdzenia sinusów.

 √ --- √ --- √ --- AF 3 17 13 17 13 1 7 2R = -----= --12--= ------- ⇒ R = -------. sin α 13 4 8

Sposób II

Tym razem obliczymy pole i wszystkie boki trójkąta ABF , aby móc skorzystać ze wzoru na pole P = a4bRc .

Zauważmy najpierw, że

 ∘ ----------- √ --------- EB = BC 2 + CE 2 = 144 + 25 = 13.

Niech K i L będą rzutami punktów E i F na prostą AB . Z podobieństwa trójkątów BLF i BKE mamy

 FL F B 2 24 ----= --- ⇒ FL = ---⋅12 = --. EK EB 13 13 -LB-= F-B ⇒ LB = 2--⋅5 = 10. KB EB 13 13

Teraz możemy obliczyć pole trójkąta ABF .

P = 1-AB ⋅ FL = 1-⋅13 ⋅ 24-= 12. 2 2 13

Długość odcinka AF obliczamy z trójkąta prostokątnego ALF .

 ∘ ----------- ∘ ------------------ AF = AL 2 + F L2 = (13− LB )2 + F L2 = ∘ (-----)-----(---)-- ∘ ------- 1 59 2 2 4 2 2 5857 √ ---- √ --- = -13- + 1-3 = ----2- = 153 = 3 1 7. 13

Pozostało skorzystać ze wzoru na pole  abc P = 4R .

 √ --- √ --- 12 = P = 2⋅1-3⋅3---17- ⇒ R = 13---17. 4R 8

 
Odpowiedź:  √-- R = 13817

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!