/Szkoła średnia/Zadania testowe/Geometria/Geometria analityczna/Czworokąt/Równoległobok

Zadanie nr 9368231

Punkty A = (− 2;3) , B = (1;− 4) , C = (3 ;4 ) są kolejnymi wierzchołkami równoległoboku ABCD . Równanie prostej zawierającej bok AD tego równoległoboku ma postać
A) − 4x + y − 11 = 0 B) 4x + y + 11 = 0
C) − 4x − y + 3 = 0 D) 4x − y + 3 = 0

Wersja PDF

Rozwiązanie

Szkicujemy opisaną sytuację.

PIC

Sposób I

Prosta AD jest równoległa BC i przechodzi przez A . Zacznijmy od wyznaczenia współczynnika kierunkowego prostej BC . Szukamy prostej w postaci y = ax+ b i podstawiamy współrzędne punktów B i C .

{ − 4 = a + b 4 = 3a + b .

Odejmujemy od drugiego równania pierwsze i mamy

8 = 2a ⇒ a = 4.

W takim razie prosta AD ma równanie postaci y = 4a+ b . Współczynnik b wyznaczamy podstawiając współrzędne punktu A .

3 = − 8+ b ⇒ b = 1 1.

Prosta AD ma więc równanie y = 4x + 11 .

Sposób II

Środek S równoległoboku ma współrzędne

( ) ( ) A + C −2 + 3 3 + 4 1 7 S = -------= -------,------ = -, -- . 2 2 2 2 2

To pozwala wyznaczyć współrzędne punktu D

B + D S = ------- ⇒ D = 2S − B = (1,7)− (1,− 4) = (0,11). 2

Piszemy teraz równanie prostej AD – szukamy prostej w postaci y = ax + b i podstawiamy współrzędne punktów A i D .

{ 3 = − 2a+ b 1 1 = b

Stąd

2a = b − 3 = 11− 3 = 8 ⇒ a = 4

i prosta AD ma równanie

y = 4x + 11 .

 
Odpowiedź: A

Wersja PDF