/Szkoła średnia/Zadania maturalne/Matura 2011

Próbny Egzamin Maturalny
z Matematyki Zestaw przygotowany przez serwis www.zadania.info poziom rozszerzony 16 kwietnia 2011 Czas pracy: 180 minut

Zadanie 1
(4 pkt)

Wykaż, że jeżeli a ∈ (0,1) i b > 1 to prawdziwa jest nierówność

1 loga b + --logb a + 1 ≤ 0. 4

Zadanie 2
(5 pkt)

Ciąg (an) , gdzie n ≥ 1 dany jest wzorem rekurencyjnym

{ √ -- a 1 = 6 √ -- an−-√2 ( 2+ 1 )an+1 = √2− 1
  • Oblicz sumę 21 początkowych wyrazów tego ciągu.
  • Wyznacz wszystkie liczby naturalne n , dla których spełniona jest nierówność
    7an ≤ 3 − (n − 1 )2.

Zadanie 3
(3 pkt)

Dwa okręgi przecinają się w punktach K i L . Przez punkty K i L poprowadzono proste, które przecinają dane okręgi w punktach A,B ,C,D tak, jak pokazano to na poniższym rysunku. Wykaż, że AC ∥ BD .

PIC

Zadanie 4
(5 pkt)

Wyznacz resztę z dzielenia wielomianu P(x) przez trójmian 2 x − 3x − 28 jeśli P (7) = 24 i P (− 4) = − 31 .

Zadanie 5
(5 pkt)

Prosta o równaniu x + 2y = 5 zawiera przekątną BD rombu ABCD , którego bok ma długość 5. Wyznacz współrzędne wierzchołków rombu jeżeli A = (5,1) .

Zadanie 6
(6 pkt)

Dla jakich wartości parametru m równanie x2 + (2m − 1)x − 6m + 3 = 0 ma dwa różne pierwiastki x1 < x2 spełniające nierówność x1x 2 > x2 − x1 .

Zadanie 7
(6 pkt)

W trapez prostokątny ABCD wpisano okrąg, przy czym punkt S jest środkiem tego okręgu, a punkt T jest punktem styczności okręgu wpisanego z dłuższym ramieniem BC . Oblicz pole tego trapezu, jeśli |SC| = 10 i √ -- |BT | = 8 5 .

PIC

Zadanie 8
(4 pkt)

Dla jakich liczb naturalnych n , liczba 2 n + 12n + 17 jest kwadratem liczby naturalnej?

Zadanie 9
(6 pkt)

Podstawą ostrosłupa ABCDS jest czworokąt wypukły ABCD , w którym |AB | = 7, |AD | = 5 oraz cos∡DAB = 4 5 . Każda z krawędzi bocznych ostrosłupa ma długość √- 3-6- 2 . Oblicz wysokość ostrosłupa.

Zadanie 10
(6 pkt)

Ile jest liczb dziewięciocyfrowych, w których suma każdych trzech kolejnych cyfr jest równa 10?

Arkusz Wersja PDF
Rozwiązania