/Szkoła średnia/Zadania maturalne/Matura 2011

Próbny Egzamin Maturalny
z Matematyki Zestaw przygotowany przez serwis www.zadania.info poziom rozszerzony 30 kwietnia 2011 Czas pracy: 180 minut

Zadanie 1
(4 pkt)

Rozwiąż nierówność |5 − x|+ 12 ≥ |2− 3x| .

Zadanie 2
(5 pkt)

Trójkąt ostrokątny, którego boki mają długości 17 i 16 ma pole równe 64. Oblicz promień okręgu opisanego na tym trójkącie.

Zadanie 3
(5 pkt)

Wyznacz wszystkie wartości parametru m , dla których równanie x2 + 2mx − 2m + 3 = 0 ma dwa różne pierwiastki należące do przedziału (− 2,0) .

Zadanie 4
(4 pkt)

Przekątne trapezu przecinają się w punkcie S . Przez punkt S poprowadzono prostą równoległą do podstaw trapezu, która przecina ramiona trapezu w punktach E i F . Wykaż, że |ES | = |SF | .

Zadanie 5
(4 pkt)

Liczby a i b są pierwiastkami równania 2 x + 8x+ s = 0 , a liczby c i d są pierwiastkami równania x 2 + 7 2x+ t = 0 . Ciąg (a,b,c,d) jest malejącym ciągiem geometrycznym. Oblicz s i t .

Zadanie 6
(5 pkt)

Napisz równanie okręgu opisanego na trójkącie o wierzchołkach A = (− 8,− 5) , B = (8,3) i C = (6,9) .

Zadanie 7
(5 pkt)

Rozwiąż nierówność 2 cos2x + sin x > 1 , gdzie x ∈ ⟨0,2π ⟩ .

Zadanie 8
(3 pkt)

Wykaż, że jeżeli żadne dwie spośród liczb a,b,c nie są równe oraz liczby (a− b )2,(b − c)2 i (c − a)2 tworzą ciąg arytmetyczny, to liczby -1-,-1-- b−a c−b i -1-- a−c również tworzą ciąg arytmetyczny.

Zadanie 9
(4 pkt)

Każda ściana dwudziestościanu foremnego W jest trójkątem równobocznym, a z każdego wierzchołka tej bryły wychodzi 5 krawędzi. Wybieramy losowo dwa różne wierzchołki wielościanu W . Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że odcinek łączący te dwa wierzchołki nie jest krawędzią wielościanu W ?

PIC

Zadanie 10
(5 pkt)

Wyznacz wszystkie wartości parametru m , dla którego wielomian 3 2 W (x) = x + (m + 1)x + (m + 2)x + 2 ma trzy różne pierwiastki rzeczywiste.

Zadanie 11
(6 pkt)

W kulę wpisano walec w ten sposób, że objętość walca stanowi 9 16 objętości kuli. Oblicz stosunek promienia kuli do wysokości walca.

Arkusz Wersja PDF
Rozwiązania