/Szkoła średnia/Zadania maturalne/Matura 2011/Matura próbna
Próbny Egzamin Maturalny
z Matematyki Zestaw przygotowany przez serwis www.zadania.info poziom rozszerzony 16 kwietnia 2011 Czas pracy: 180 minut
Wykaż, że jeżeli i
to prawdziwa jest nierówność
![1 loga b + --logb a + 1 ≤ 0. 4](https://img.zadania.info/zes/0058930/HzesT2x.gif)
Ciąg , gdzie
dany jest wzorem rekurencyjnym
![{ √ -- a 1 = 6 √ -- an−-√2 ( 2+ 1 )an+1 = √2− 1](https://img.zadania.info/zes/0058930/HzesT5x.gif)
- Oblicz sumę 21 początkowych wyrazów tego ciągu.
- Wyznacz wszystkie liczby naturalne
, dla których spełniona jest nierówność
Dwa okręgi przecinają się w punktach i
. Przez punkty
i
poprowadzono proste, które przecinają dane okręgi w punktach
tak, jak pokazano to na poniższym rysunku. Wykaż, że
.
Wyznacz resztę z dzielenia wielomianu przez trójmian
jeśli
i
.
Prosta o równaniu zawiera przekątną
rombu
, którego bok ma długość 5. Wyznacz współrzędne wierzchołków rombu jeżeli
.
Dla jakich wartości parametru równanie
ma dwa różne pierwiastki
spełniające nierówność
.
W trapez prostokątny wpisano okrąg, przy czym punkt
jest środkiem tego okręgu, a punkt
jest punktem styczności okręgu wpisanego z dłuższym ramieniem
. Oblicz pole tego trapezu, jeśli
i
.
Dla jakich liczb naturalnych , liczba
jest kwadratem liczby naturalnej?
Podstawą ostrosłupa jest czworokąt wypukły
, w którym
oraz
. Każda z krawędzi bocznych ostrosłupa ma długość
. Oblicz wysokość ostrosłupa.
Ile jest liczb dziewięciocyfrowych, w których suma każdych trzech kolejnych cyfr jest równa 10?