/Szkoła średnia/Zadania testowe/Geometria/Planimetria/Czworokąt/Trapez/Dowolny

Zadanie nr 4316720

Na rysunku przedstawiono trapez ABCD o podstawach AB i CD , w którym |AB | = 12 i |CD | = 8 .

PIC

Dokończ zdanie. Wybierz dwie odpowiedzi, tak aby dla każdej z nich dokończenie poniższego zdania było prawdziwe.
Pola trójkątów utworzonych przez przekątne trapezu i jego boki spełniają równość
A) PAED = PBEC B) PABE = 2PCDE C) 2PABD = 5PAED

D) PABE = 3PBEC E) 2PABE = 3PCDE F) P = 2P BEC CDE

Wersja PDF

Rozwiązanie

Trójkąty ABD i ABC  mają wspólną podstawę AB i równe wysokości opuszczone na tą podstawę. Mają więc równe pola. Stąd

PAED = PABD − PABE = PABC − PABE = PBEC.

Trójkąty ABE i CDE mają równe kąty, więc są podobne. Znamy też ich skalę podobieństwa

k = AE--= BE--= AB--= 12-= 3. EC ED CD 8 2

To pozwala obliczyć pola wszystkich czterech trójkątów, na które przekątne podzieliły trapez w zależności od jednego z nich. Jeżeli na przykład oznaczymy S = P CDE , to

P ( AB ) 2 9 9 -ABE--= ---- = -- ⇒ PABE = -S PCDE CD 4 4 PAED-- AE-- 3- 3- P = CE = 2 ⇒ PAED = 2S CDE PBEC = PAED = 3S . 2

Teraz łatwo ustalić, które z podanych równości są prawdziwe. Zauważmy, że

9 3 3 1 PABD--= 4S-+-2-S-= 4 +-2-= 3+ 1 = 5-. PAED 32S 12 2 2

Zatem

2PABD = 5PAED .

Pozostałe równości nie są prawdziwe.  
Odpowiedź: A, C

Wersja PDF