Zadanie nr 7961455

W trapezie ABCD podstawa jest dłuższa od podstawy . Przekątne trapezu przecinają się w punkcie (zobacz rysunek).

ZINFO-FIGURE

Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, lub F – jeśli jest fałszywe.

Pole trójkąta jest równe polu trójkąta .	P	F
	P	F

Rozwiązanie

Sposób I

Trójkąty AED i DEC mają wspólną wysokość opuszczoną z wierzchołka , ale ich podstawy mają różne długości: |AE | > |CE | . To oznacza, że pole trójkąta AED jest większe niż pole trójkąta DEC .

Trójkąty ABD i ABC mają wspólną podstawę . Ponadto wysokości opuszczone na tą podstawę w każdym z trójkątów mają tą samą długość – jest to po prostu odległość między równoległymi prostymi i . W takim razie te dwa trójkąty mają równe pola. To z kolei oznacza, że

PAED = PABD − PABE = PABC − PABE = PBEC.

Jeżeli zapiszemy ten warunek przy pomocy wzoru na pole z sinusem, to mamy

AE ⋅ED ⋅sinα = BE ⋅EC ⋅sinα / : sin α AE ⋅ED = BE ⋅EC .

Sposób II

Trójkąty ABE i CDE mają równe kąty:

∡CAB = ∡ACD ∡ABD = ∡BDC ∡AEB = ∡CED .

Są więc podobne i ich skala podobieństwa jest równa AB- k = CD > 1 . Jeżeli więc oznaczymy ED = x i EC = y , to EB = kx i EA = ky . Korzystamy teraz ze wzoru na pole trójkąta z sinusem.