Zadanie nr 7961455
W trapezie podstawa
jest dłuższa od podstawy
. Przekątne trapezu przecinają się w punkcie
(zobacz rysunek).
Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, lub F – jeśli jest fałszywe.
Pole trójkąta ![]() ![]() | P | F |
![]() | P | F |
Rozwiązanie
Sposób I
Trójkąty i
mają wspólną wysokość opuszczoną z wierzchołka
, ale ich podstawy mają różne długości:
. To oznacza, że pole trójkąta
jest większe niż pole trójkąta
.
![ZINFO-FIGURE](https://img.zadania.info/zad/7961455/HzadR6x.png)
Trójkąty i
mają wspólną podstawę
. Ponadto wysokości opuszczone na tą podstawę w każdym z trójkątów mają tą samą długość – jest to po prostu odległość między równoległymi prostymi
i
. W takim razie te dwa trójkąty mają równe pola. To z kolei oznacza, że
![PAED = PABD − PABE = PABC − PABE = PBEC.](https://img.zadania.info/zad/7961455/HzadR12x.png)
Jeżeli zapiszemy ten warunek przy pomocy wzoru na pole z sinusem, to mamy
![AE ⋅ED ⋅sinα = BE ⋅EC ⋅sinα / : sin α AE ⋅ED = BE ⋅EC .](https://img.zadania.info/zad/7961455/HzadR13x.png)
Sposób II
Trójkąty i
mają równe kąty:
![∡CAB = ∡ACD ∡ABD = ∡BDC ∡AEB = ∡CED .](https://img.zadania.info/zad/7961455/HzadR16x.png)
Są więc podobne i ich skala podobieństwa jest równa . Jeżeli więc oznaczymy
i
, to
i
. Korzystamy teraz ze wzoru na pole trójkąta z sinusem.
![P = 1ky ⋅x ⋅sinα = k⋅ 1xy sin α AED 2 2 1 ∘ 1 1 PDEC = 2x ⋅y ⋅sin (180 − α ) = 2xy sin α < k ⋅2xy sin α = PAED .](https://img.zadania.info/zad/7961455/HzadR22x.png)
Ponadto
![AE ⋅ED = ky ⋅x = kx⋅ y = BE ⋅ EC .](https://img.zadania.info/zad/7961455/HzadR23x.png)
Odpowiedź: F, P