Zadanie nr 2186034
Z wierzchołków sześcianu losujemy jednocześnie dwa różne wierzchołki. Prawdopodobieństwo tego, że wierzchołki te są końcami przekątnej jednej ze ścian sześcianu
, jest równe
A) B)
C)
D)
Rozwiązanie
Sposób I
Dwa różne wierzchołki sześcianu możemy wybrać na
![( ) 8 8 ⋅7 = ---- = 2 8 2 2](https://img.zadania.info/zad/2186034/HzadR0x.gif)
sposobów. Jednocześnie jest
![6 ⋅2 = 12](https://img.zadania.info/zad/2186034/HzadR1x.gif)
zdarzeń sprzyjających (w każdej ścianie są dwie przekątne).
![PIC](https://img.zadania.info/zad/2186034/HzadR2x.gif)
Interesujące nas prawdopodobieństwo jest więc równe
![12 3 ---= -. 28 7](https://img.zadania.info/zad/2186034/HzadR3x.gif)
Sposób II
Dwa różne wierzchołki sześcianu zawsze są końcami jego krawędzi, przekątnej ściany bocznej lub też przekątnej sześcianu. W sumie jest
![12 + 6⋅ 2+ 4 = 28](https://img.zadania.info/zad/2186034/HzadR4x.gif)
takich odcinków. Wśród nich jest 12 przekątnych ścian sześcianu, więc interesujące nas prawdopodobieństwo jest równe
![12- 3- 28 = 7.](https://img.zadania.info/zad/2186034/HzadR5x.gif)
Sposób III
O zdarzeniach elementarnych myślimy jak o parach , gdzie
i
są różnymi wierzchołkami sześcianu. Jest więc
![8 ⋅7](https://img.zadania.info/zad/2186034/HzadR9x.gif)
zdarzeń elementarnych. Wśród nich są 24:
![(A ,H ), (E ,D ),(A ,C ), (B ,D ), (B,G ), (F,C ), (F ,H ), (E,G ), (C,H ), (D ,G) (H ,A ), (D ,E),(C ,A ), (D ,B ), (G ,B), (C,F ), (H ,F), (G ,E), (H ,C), (G,D ).](https://img.zadania.info/zad/2186034/HzadR10x.gif)
zdarzenia sprzyjające. Interesujące nas prawdopodobieństwo jest więc równe
![-24- = 3. 8 ⋅7 7](https://img.zadania.info/zad/2186034/HzadR11x.gif)
Odpowiedź: D