/Szkoła średnia/Zadania testowe/Geometria/Stereometria/Graniastosłup/Sześciokątny

Zadanie nr 1604228

W graniastosłupie prawidłowym sześciokątnym ABCDEF GHIJKL wierzchołki A ,C i L połączono odcinkami (tak jak na rysunku). Wszystkie krawędzie graniastosłupa mają tą samą długość.

PIC

Cosinus największego kąta trójkąta ACL jest równy
A) 35 B) 15 C) 0 D) − 1 5

Wersja PDF

Rozwiązanie

Sposób I

Zauważmy, że odcinek AC jest prostopadły zarówno do krawędzi AF jak i do AG . Jest więc prostopadły do płaszczyzny AGLF . To oznacza, że trójkąt CAL jest prostokątny i

co s∡CAL = cos90 ∘ = 0.

Sposób II

Dorysujmy przekątne AD ,BE i FC sześciokąta w podstawie graniastosłupa i oznaczymy długość krawędzi graniastosłupa przez a .

PIC

Czworokąt AGLF jest kwadratem, więc √ -- AL = a 2 . Odcinek AC jest dwa razy dłuższy od wysokości trójkąta równobocznego z jakich składa się podstawa graniastosłupa, więc

√ -- a---3 √ -- AC = 2 ⋅ 2 = a 3.

Długość odcinka CL obliczamy z trójkąta prostokątnego CF L

∘ ----------- ∘ --------- √ -- CL = F C2 + FL 2 = 4a2 + a2 = a 5.

Teraz łatwo zauważyć, że

CL 2 = 5a 2 = AC 2 + AL 2,

czyli ∡CAL = 90∘ . Stąd cos ∡CAL = 0 .  
Odpowiedź: C

Wersja PDF