/Szkoła średnia/Zadania testowe/Nierówności/Inne

Zadanie nr 5965020

Zbiorem rozwiązań nierówności ||x + 1| + 5| < ||x + 2 |− 3|+ 5 jest
A) (− 3,0) B) R C) (0,3) D) ∅

Wersja PDF

Rozwiązanie

Daną nierówność możemy zapisać w postaci

− ||x+ 2|− 3| − 5 < |x + 1|+ 5 < ||x + 2 |− 3|+ 5 / − 5 − ||x+ 2|− 3| − 10 < |x + 1| < ||x+ 2|− 3|.

Zauważmy teraz, że lewa nierówność jest zawsze spełniona, więc pozostaje nierówność

|x+ 1| < ||x + 2 |− 3|

Sposób I

Szkicujemy teraz wykresy funkcji po obu stronach nierówności.

PIC

Z wykresu widać, że rozwiązaniem tej nierówności jest przedział (− 3,0) .

Sposób II

Podnosimy nierówność stronami do kwadratu

(x+ 1)2 < (|x+ 2|− 3 )2 2 2 x + 2x + 1 < |x + 2| − 6|x+ 2|+ 9 2 2 x + 2x + 1 < x + 4x + 4− 6 |x + 2 |+ 9 6|x+ 2| < 2x + 12 / : 2 − x− 6 < 3x + 6 < x + 6.

Mamy stąd układ nierówności

{ − 12 < 4x ⇐ ⇒ − 3 < x 2x < 0 ⇐ ⇒ x < 0.

Rozwiązaniem jest więc przedział (− 3,0) .  
Odpowiedź: A

Wersja PDF