/Szkoła średnia/Zadania testowe/Liczby/Wyrażenia algebraiczne/Wielomianowe

Zadanie nr 4240556

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Po przekształceniu wyrażenia algebraicznego ( √ -- √ -) 4 x 3 − y 2 do postaci 4 3 2 2 3 4 ax + bx y+ cx y + dxy + ey współczynnik c jest równy
A) − 6 B) √ -- 8 6 C) 36 D) √ -- − 12 6

Rozwiązanie

Sposób I

Zauważmy najpierw, że

( √ -- √ -) 4 ( √ -- ) 2 x 3 − y 2 = 3x 2 − 2 6xy + 2y2 = √ -- √ -- = (3x2 − 2 6xy + 2y2)(3x2 − 2 6xy + 2y2).

Przy wymnażaniu wyrażeń w tych nawiasach otrzymamy trzy składniki zawierające 2 2 x y :

2 2 √ -- √ -- 2 2 2 2 3x ⋅2y + (− 2 6xy )⋅ (−2 6xy) + 2y ⋅3x = 3 6x y .

Sposób II

Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia

2 2 2 2 (a + b + c) = a + b + c + 2ab+ 2bc+ 2ca.

W naszej sytuacji mamy

( √ -- √ -) 4 (( √ -- √ -) 2) 2 ( √ -- ) 2 x 3− y 2 = x 3 − y 2 = 3x 2 − 2xy 6 + 2y2 = √ -- √ -- = 9x4 + 24x2y 2 + 4y 4 − 1 2x3y 6 − 8xy 3 6+ 12x2y2 = √ -- √ -- = 9x4 − 12x3y 6+ 36x2y2 − 8xy 3 6+ 4y4.

Interesujący nas współczynnik przy 2 2 x y jest więc równy 36.

Sposób III

Korzystamy ze wzoru dwumianowego Newtona

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 4 4 4 4 3 4 2 2 4 3 4 4 (a− b) = 0 a − 1 a b + 2 a b − 3 ab + 4 b

W takim razie składnik wyrażenia ( √ -- √ -) 4 x 3 − y 2 zawierający 2 2 x y jest równy

( ) √ -- √ -- 4 (x 3)2(y 2)2 = 4-⋅3 ⋅3x2 ⋅2y2 = 36x 2y2. 2 2

 
Odpowiedź: C

Wersja PDF