/Szkoła średnia/Zadania testowe/Liczby/Wyrażenia algebraiczne/Wielomianowe

Zadanie nr 5511172

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Dla każdej liczby rzeczywistej x wyrażenie 6 3 x − 2x − 3 jest równe
A) (x3 + 1)(x2 − 3) B) (x 3 − 3 )(x3 + 1) C) (x2 + 3)(x4 − 1) D) (x4 + 1)(x 2 − 3 )

Rozwiązanie

Sposób I

Sprawdzamy podane odpowiedzi

(x3 + 1)(x2 − 3) = x 5 − 3x 3 + x 2 − 3 3 3 6 3 3 6 3 (x − 3)(x + 1) = x + x − 3x − 3 = x − 2x − 3 (x2 + 3)(x4 − 1) = x 6 + 3x 4 − x 2 − 3 (x4 + 1)(x2 − 3) = x 6 − 3x 4 + x 2 − 3 .

Sposób II

Zauważmy, że

x6 − 2x 3 − 3 = (x6 − 2x3 + 1)− 4 = (x3 − 1)2 − 22 = = (x3 − 1− 2)(x3 − 1+ 2) = (x3 − 3)(x3 + 1).

Sposób III

Zauważmy, że

6 3 6 3 3 3 3 3 3 3 x − 2x − 3 = x − 3x + x − 3 = x (x − 3 )+ (x − 3) = (x − 3)(x + 1).

Sposób IV

Jeżeli podstawimy 3 t = x , to mamy trójmian kwadratowy 2 t − 2t − 3 . Łatwo go rozłożyć licząc pierwiastki.

2 t − 2t − 3 = 0 Δ = 4+ 12 = 16 t = 2-−-4-= − 1 lub t = 2+--4-= 3. 2 2

Zatem

t2 − 2t− 3 = (t+ 1)(t− 3 ) = (x3 + 1)(x3 − 3).

 
Odpowiedź: B

Wersja PDF