/Szkoła średnia/Zadania testowe/Geometria/Planimetria/Trójkąt/Równoramienny/Pole

Zadanie nr 5560668

Punkty D i E są środkami odpowiednio podstawy AB i ramienia AC trójkąta równoramiennego ABC . Punkty F i G leżą na ramieniu BC tak, że odcinki DG i EF są prostopadłe do prostej BC (zobacz rysunek).

PIC

Pole trójkąta BGD jest równe 2, a pole trójkąta CF E jest równe 4. Zatem pole trójkąta ABC jest równe
A) 24 B) 8 C) 12 D) 16

Wersja PDF

Rozwiązanie

Sposób I

Dorysujmy wysokość AH trójkąta ABC .

PIC

Zauważmy teraz, że trójkąt CF E jest podobny do trójkąta CHA w skali CCAE = 12 . Podobnie trójkąt BGD jest podobny do trójkąta BHA w skali BD- = 1 BA 2 . Mamy stąd

P = P + P = 4P + 4P = 1 6+ 8 = 24. ABC CHA BHA CFE BGD

Sposób II

Niech G ′ będzie takim punktem odcinka BC , że EG ′ ∥ AB . Wtedy trójkąty BGD i G ′FE są podobne oraz EG ′ = 1AB = DB 2 . Trójkąty te są więc przystające. Stąd

PCEG ′ = PCFE + PG′FE = PCFE + PBGD = 4 + 2 = 6.

Teraz wystarczy zauważyć, że trójkąt CEG ′ jest 2 razy mniejszy od trójkąta ABC , więc

P = 4P ′ = 4 ⋅6 = 24. ABC CEG

 
Odpowiedź: A

Wersja PDF