Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 9851072

Na podstawie AB i ramieniu AC trójkąta równoramiennego ABC dane są punkty D i E takie, że |AE | = 2|EC | i |AD | = 2|DB | . Punkty F i G leżą na ramieniu BC tak, że odcinki DG i EF są prostopadłe do prostej BC (zobacz rysunek).


PIC


Pole trójkąta ABC jest równe 18. Zatem suma pól trójkątów CF E i BGD jest równa
A) 9 B) 6 C) 3 D) 2

Wersja PDF
Rozwiązanie

Sposób I

Dorysujmy wysokość AH trójkąta ABC .


PIC

Zauważmy teraz, że trójkąt CF E jest podobny do trójkąta CHA w skali CCAE = 13 . Podobnie trójkąt BGD jest podobny do trójkąta BHA w skali BD- = 1 BA 3 . Mamy stąd

18 = P = P + P = 9P + 9P ⇒ P + P = 2. ABC CHA BHA CFE BGD CFE BGD

Sposób II

Niech  ′ G będzie takim punktem odcinka BC , że  ′ EG ∥ AB . Wtedy trójkąty BGD i  ′ G FE są podobne oraz  ′ 1 EG = 3AB = DB . Trójkąty te są więc przystające. Stąd

P + P ′ = P ′. CFE G FE CEG

Teraz wystarczy zauważyć, że trójkąt CEG ′ jest 3 razy mniejszy od trójkąta ABC , więc

 1 PCEG ′ = -PABC = 2 . 9

 
Odpowiedź: D

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!