/Szkoła średnia/Liczby/Wyrażenia algebraiczne

Zadanie nr 1623925

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Uzasadnij, że jeżeli a i b są liczbami całkowitymi i √3-- x+ y = a oraz √ -- x − y = 3 b , to 2y3 + 6x2y też jest liczbą całkowitą.

Rozwiązanie

Sposób I

Wiemy, że 3 (x+ y) = a i 3 (x − y) = b są liczbami całkowitymi, więc różnica tych liczb też jest liczbą całkowitą.

3 3 3 2 2 3 3 2 2 3 (x + y) − (x− y) = (x + 3x y + 3xy + y )− (x − 3x y + 3xy − y ) = = 6x 2y + 2y 3.

Sposób II

Dodając, a potem odejmując równania układu

{ √3-- x+ y = √ a- x− y = 3b.

stronami mamy √ - √3a-+-3b x = 2 i √- -3√a−-3b y = 2 . Stąd

( ( √ -- √3-) 2 ( √ -- 3√ -) 2) 3 2 2 2 √3-- √3-- ( -3a-−---b- 3-a+----b- ) 2y + 6x y = 2y(y + 3x ) = ( a − b ) 2 + 3 2 = √ -- √ -- ( 3√ -2- √3-√3-- 3√ -2- √3-2- 3√ -3√ -- √3 -2) = ( 3a − 3b) --a-− --a--b-+ --b-+ 3--a--+ 3--a--b-+ 3---b- = 4 2 4 4 2 4 √3-- √3-- √3--- √3-√3-- √3--- 3√ --3 √3-- 3 = ( a − b)( a2 + a b + b2) = ( a) − ( b ) = a− b.
Wersja PDF