/Szkoła średnia/Liczby/Wyrażenia algebraiczne/Udowodnij.../1 literka

Zadanie nr 9316130

Wiadomo, że a > 0 i 1 a + a = 2 . Wykaż, że 2 -1 1 a + a2 = a + a .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Sposób I

Przekształćmy podany warunek.

1 --+ a = 2 / ⋅a a 1+ a2 = 2a 2 a − 2a+ 1 = 0 (a− 1)2 = 0.

Zatem a = 1 . To oznacza, że

2 1-- 1- a + a2 = 2 = a + a.

Sposób II

Przekształcamy lewą stronę

1 1 a2 + -2-= a2 + 2 + -2-− 2 = a ( )a 1- 2 = a + a − 2 = = 22 − 2 = 4− 2 = 2 = a + 1-. a

Sposób III

Przekształcamy lewą stronę

1 a4 + 1 a4 + 2a2 + 1− 2a2 a2 + --2 = ---2-- = ---------2-------- = a a ( a ) (a2 + 1)2 2a2 a2 + 1 2 = ----2----− --2-= ------ − 2 = ( a ) a a 1 2 2 1 = a + a- − 2 = 2 − 2 = 2 = a-+ a.
Wersja PDF