/Szkoła średnia/Liczby/Wyrażenia algebraiczne/Udowodnij.../2 literki

Zadanie nr 2000476

Wykaż, że jeżeli liczby rzeczywiste x i y spełniają warunek

6 6 x--+-y--= x3 + y3 − 1 , 2

to x = y = 1 .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Przekształcamy daną równość w sposób równoważny.

6 6 x--+-y--= x3 + y3 − 1 / ⋅2 2 x6 + y6 = 2x3 + 2y3 − 2 6 3 6 3 (x − 2x + 1) + (y − 2y + 1) = 0 (x3 − 1)2 + (y3 − 1)2 = 0.

Jeżeli suma kwadratów jest równa 0, to oba składniki muszą być zerami. Zatem

3 3 x = y = 1 ⇒ x = y = 1.
Wersja PDF