Zadanie nr 2376096
Wykaż, że jeżeli liczby dodatnie i spełniają warunek
to spełniają też równość
Rozwiązanie
Zapiszmy dane wyrażenie tak, żeby nie było mianownika.
Sposób I
Zauważmy, że dana równość jest spełniona jeżeli , to sugeruje, że w tym wyrażeniu powinno dać się wyłączyć przed nawias. Próbujemy to zrobić.
Wyrażenie w drugim nawiasie też się zeruje dla , więc nadal próbujemy wyciągnąć przed nawias.
Wiemy zatem, że
Wiemy dodatkowo, ze i są dodatnie, więc . W takim razie . Wtedy faktycznie
Sposób II
Zauważmy, że dana równość jest jednorodna, tzn. każdy występujący w niej jednomian ma stopień 3. To oznacza, że dość łatwo zamiast dwóch zmiennych możemy zrobić jedną.
Podstawiamy teraz .
Gołym okiem widać, że jednym z pierwiastków tego wielomianu jest , więc dzielimy go przez .
Rozkładamy jeszcze trójmian w drugim nawiasie.
Mamy zatem
Zauważmy teraz, że , więc . Zatem , czyli . Stąd