Zadanie nr 2911398

Udowodnij, że jeżeli b ⁄= 0 i a ⁄= −b , to a -a-- a -a-- b ⋅a+b = b − a+b .

Rozwiązanie

Sposób I

Jest jasne, że jeżeli a = 0 , to dana równość jest spełniona, więc załóżmy, że a ⁄= 0 . Przekształcamy daną równość w sposób równoważny.

a-⋅ --a--= a-− --a--- / ⋅ b-(a+-b-) b a+ b b a+ b a a = (a + b) − b.

Otrzymana równość jest oczywiście spełniona, więc wyjściowa też musiała być spełniona (bo przekształcaliśmy ją w sposób równoważny).

Sposób II

Przekształcamy prawą stronę danej równości.

a a a(a+ b)− ab a2 + ab − ab --− ------= --------------= ------------= b a + b b(a + b) b(a+ b) a2 a a = ---------= -⋅ -----. b(a+ b) b a+ b

Sposób III

Przekształcamy daną równość w sposób równoważny.

a a a a --⋅ -----= --− ------ b a+ b b a+ b a-⋅ -a---+ --a---= a- b a+(b a+) b b --a--- a- a- a + b b + 1 = b a a + b a ------⋅------= -- a + b b b

Otrzymana równość jest oczywiście spełniona, więc wyjściowa też musiała być spełniona (bo przekształcaliśmy ją w sposób równoważny).