Zadanie nr 5923134

Liczby rzeczywiste i spełniają równość 3 2 3 2 a + 3a + 3a = 8b + 12b + 6b . Wykaż, że a = 2b .

Rozwiązanie

Sposób I

Przekształcamy podaną równość (korzystamy ze wzorów skróconego mnożenia na różnicę kwadratów i różnicę sześcianów).

3 2 3 2 a + 3a + 3a = 8b + 12b + 6b (a3 − 8b 3)+ 3(a 2 − 4b 2)+ 3(a − 2b ) = 0 (a− 2b )(a2 + 2ab + 4b2)+ 3(a− 2b)(a+ 2b)+ 3(a− 2b) = 0 2 2 (a− 2b )(a + 2ab + 4b + 3a+ 6b+ 3) = 0.

Sprawdzimy teraz, kiedy wyrażenie w drugim nawiasie może być zerem. Potraktujmy to wyrażenie jak funkcję kwadratową zmiennej

2 2 f(a) = a + (2b + 3)a + (4b + 6b + 3) = 0 Δ = (2b + 3 )2 − 4(4b 2 + 6b + 3 ) = 4b2 + 12b + 9 − 16b2 − 24b − 12 = 2 2 2 = − 12b − 1 2b− 3 = − 3(4b + 4b + 1) = − 3(2b + 1 ) .

Widzimy, że jedyna możliwość, aby trójmian miał pierwiastki, to b = − 1 2 . Wtedy

2 2 0 = f(a) = a + 2a + 1 = (a+ 1) ,

czyli a = − 1 = 2b . Jeżeli natomiast 1 b ⁄= − 2 , to

2 2 a + 2ab + 4b + 3a+ 6b+ 3 ⁄= 0

i a = 2b .

Sposób II

Przekształcamy podaną równość (uzupełniamy obie strony do pełnych sześcianów).

a3 + 3a2 + 3a = 8b 3 + 1 2b2 + 6b / + 1 3 2 3 2 a + 3a + 3a + 1 = 8b + 1 2b + 6b+ 1 (a + 1)3 = (2b + 1)3.

Korzystamy teraz ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę sześcianów.

(a + 1)3 − (2b + 1)3 = 0 ( ) (a + 1 − (2b + 1)) (a + 1)2 + (a + 1)(2b + 1) + (2b + 1)2 = 0 (a − 2b)(a2 + 2a + 1 + 2ab + a + 2b + 1 + 4b2 + 4b + 1) = 0 2 2 (a − 2b)(a + 3a + 4b + 6b + 3 + 2ab) = 0.

Tak samo jak w poprzednim sposobie wnioskujemy stąd, że a = 2b .

Sposób III

Tak jak w poprzednim sposobie dochodzimy do równości

(a+ 1)3 = (2b+ 1)3 / 3√ - a+ 1 = 2b + 1.

Stąd a = 2b .