/Szkoła średnia/Liczby/Wyrażenia algebraiczne/Udowodnij...

Zadanie nr 2832612

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Wykaż, że dla a ∈ (2,3) zachodzi równość √a-2−-6a+9 √a-2−-4a+-4 3−a + a−2 = 2 .

Rozwiązanie

Chwilkę się przyglądamy i zauważamy, że pod pierwiastkami mamy pełne kwadraty.

√ ------------ √ ------------ ∘ -------- ∘ -------- --a2-−-6a-+-9-+ --a2 −-4a-+-4-= ---(a−--3)2+ --(a-−-2)2-= 3 − a a− 2 3 − a a − 2 |a − 3| |a− 2| = ------- + -------. 3 − a a− 2

Teraz nadeszła pora na skorzystanie z założenia a ∈ (2,3) . Dzięki temu założeniu wiemy, że a − 3 < 0 oraz a − 2 > 0 . Zatem

|a−-3-| |a-−-2|- −-(a−-3-) a−--2- 3− a + a − 2 = 3− a + a− 2 = 1 + 1 = 2.
Wersja PDF