/Szkoła średnia/Liczby/Wyrażenia algebraiczne/Udowodnij...

Zadanie nr 4257109

Wykaż, że jeżeli liczby rzeczywiste a,b,c spełniają warunek a + b+ c = 1 , to

(a+ b)(b+ c)(c+ a) + abc = ab+ bc+ ca.
Wersja PDF

Rozwiązanie

Podstawmy c = 1 − a − b w lewej stronie równości, którą mamy udowodnić.

L = (a+ b )(b+ c)(c + a) + abc = (a + b)(1 − a)(1 − b) + ab(1 − a − b) = = (a+ b )(1− a − b + ab )+ ab − a2b − ab2 = 2 2 = a(1− a− b + ab )+ b (1− a − b + ab) + ab − a b − ab = = a− a 2 − ab + a2b + b − ab − b2 + ab2 + ab − a2b − ab2 = = a− a 2 − ab + b − b2.

To samo robimy z prawą stroną.

P = ab + bc + ca = ab+ b(1− a− b)+ a (1 − a − b) = = ab + b − ab − b2 + a − a2 − ab = b − b2 + a − a2 − ab = L .
Wersja PDF