/Szkoła średnia/Liczby/Wyrażenia algebraiczne/Udowodnij...

Zadanie nr 4838925

Wykaż, że jeżeli a > 1 i b > 1 oraz a √b-2−-1 b = √a-2−-1 to a = b .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Przekształcamy w sposób równoważny podaną równość

√ -2----- a-= √-b--−-1- /()2 b a2 − 1 a2 b2 − 1 ---= ------- /⋅ b2(a2 − 1 ) b2 a2 − 1 a2(a2 − 1) = b2(b2 − 1) 4 2 4 2 a − a = b − b a4 − b4 − (a2 − b2) = 0 (a2 − b2)(a2 + b2)− (a2 − b 2) = 0 2 2 2 2 (a − b )(a + b − 1) = 0 (a − b)(a + b)(a2 + b2 − 1) = 0.

Teraz wystarczy zauważyć, że, na mocy założenia a,b > 1 , wyrażenia w drugim i trzecim nawiasie są dodatnie, czyli zerowe musi być wyrażenie w pierwszym nawiasie, co dowodzi, że a = b .

Wersja PDF