/Szkoła średnia/Liczby/Wyrażenia algebraiczne/Udowodnij...

Zadanie nr 7979474

Wykaż, że jeżeli liczby dodatnie x > y spełniają warunki: x − y = p i x 3 − y3 = q , to

∘ ----------4 x2 − y2 = ---12pq-−-3p--. 3
Wersja PDF

Rozwiązanie

Pobawmy się danymi równościami, żeby zobaczyć co uda nam się z nich obliczyć.

q q q = x3 − y3 = (x − y )(x 2 + xy + y2) ⇒ x2 + xy + y2 = ------= -- x − y p

Z drugiej strony

p = x− y / ()2 2 2 2 p = x − 2xy + y .

Jeżeli teraz odejmiemy dwa otrzymane wyrażenia stronami, to mamy

q --− p2 = (x2 + xy + y 2)− (x 2 − 2xy + y2) = 3xy p q− p3 q− p3 --p----= 3xy ⇒ xy = --3p--.

Stąd

q− p3 4q− p3 (x+ y)2 = (x − y)2 + 4xy = p2 + 4⋅ -------= -------- -------- 3p 3p ∘ 3 ∘ ----------4 x+ y = 4q−--p--= --12pq-−-3p--. 3p 3p

Wyciągając pierwiastek oczywiście skorzystaliśmy z tego, że liczby x i y są dodatnie. No i teraz już łatwo.

----------- ----------- ∘ 1 2pq − 3p4 ∘ 12pq − 3p4 x2 − y2 = (x − y)(x + y ) = p ⋅--------------= -------------. 3p 3
Wersja PDF