Zadanie nr 9379163

Wykaż, że jeżeli x + y + z = 0 to zachodzi równość

2 2 2 ---------x--+-y--+-z---------- = 1. (x − y )2 + (y − z)2 + (z − x)2 3

Rozwiązanie

Sposób I

Przekształcamy lewą stronę równości, którą mamy udowodnić podstawiając z = −x − y .

2 2 2 2 2 2 ---------x--+-y--+-z---------- = ----------x--+--y-+-(−x--−-y-)-----------= (x − y)2 + (y − z)2 + (z− x)2 (x − y)2 + (y + x + y )2 + (−x − y − x )2 2 2 2 2 2 2 = -------------x-+--y-+--x-+--y-+--2xy------------- = 2x--+--2y-+--2xy = 1. x2 − 2xy + y2 + x2 + 4xy + 4y2 + 4x 2 + 4xy + y2 6x 2 + 6y2 + 6xy 3

Sposób II

Korzystając ze wzoru na kwadrat sumy mamy

0 = (x + y + z)2 = x 2 + y 2 + z2 + 2xy + 2yz + 2xz 2 2 2 2xy + 2yz + 2xz = − (x + y + z ).

Korzystając z tej zależności mamy

x2 + y2 + z2 ------------------------------ = (x − y)2 + (y − z)2 + (z− x)2 x 2 + y 2 + z2 x2 + y2 + z2 1 = ---2-----2-----2-------------------= ---2-----2-----2 = --. 2x + 2y + 2z − 2xy − 2yz − 2zx 3x + 3y + 3z 3