/Szkoła średnia/Nierówności/Udowodnij.../Logarytmiczne

Zadanie nr 2838059

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Wykaż, że jeżeli a ∈ (0,1) i b > 1 to prawdziwa jest nierówność

1 loga b + --logb a + 1 ≤ 0. 4

Rozwiązanie

Sposób I

Przekształcamy w sposób równoważny daną nierówność (korzystamy ze wzoru na zmianę podstawy logarytmu).

log b+ 1-⋅ loga-a+ 1 ≤ 0 a 4 loga b 4(log b)2 + 1+ 4 log b -----a---------------a--≤ 0 4 lo gab (2 log b + 1)2 ------a------- ≤ 0 . 4 loga b

Teraz wystarczy zauważyć, że mianownik jest ujemny (bo a < 1 i b > 1 ), a licznik jest nieujemny. Powyższa nierówność jest więc spełniona, a przekształcaliśmy w sposób równoważny, więc wyjściowa nierówność też musi być spełniona.

Sposób II

Korzystając ze wzoru na zamianę podstawy logarytmu możemy daną nierówność zapisać w postaci

1 log a loga b+ --⋅---a--+ 1 ≤ 0 4 loga b 1- --1--- loga b+ 4 ⋅log b + 1 ≤ 0 a

Podstawmy teraz t = loga b . Zauważmy, że z podanych założeń o a i b wynika, że t < 0 .

1- t+ 4t + 1 ≤ 0 / ⋅4t 2 4t + 1+ 4t ≥ 0 (2t + 1)2 ≥ 0.

Otrzymana nierówność jest oczywiście spełniona, więc wyjściowa też musiała być prawdziwa.

Wersja PDF